§ 12. Примеры.

В настоящем параграфе мы приведем ряд простых примеров, на которых проиллюстрируем материал предыдущих параграфов. Эти примеры в силу их простоты одновременно являются примерами полного качественного исследования динамической системы. Во всех приведенных примерах динамические системы определены на всей плоскости.

Пример 1.

Траектории — прямые, параллельные оси х

Состояний равновесия, очевидно, нет: все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями. Пример 2.

Состояний равновесия нет, траектории не являются целыми траекториями ввиду того, что точки на этих траекториях уходят в бесконечность при стремящемся к конечному значению. Именно,

Пример 3.

где имеют одинаковые знаки.

На плоскости (т. е. на фазовой плоскости системы эта система задает векторное поле, примерно изображенное на рис. 5, а при и на рис. 5, б при Прямые на этом рисунке являются изоклинами.

Рис. 5

Система (8), очевидно, имеет единственное состояние равновесия Решая систему (8) как линейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее начальным значениям имеет вид

Очевидно, что в согласии с леммой 3 это решение является функцией

Траектории системы (8) проще всего получить, исключая в уравнениях (9), т. е. переходя к декартовым координатам.

Мы получаем

Полагая при мы получим параболы

а при (когда выражение может не иметь смысла) При мы получаем

Перейдем от системы (8) к одному уравнению, например, записанному в виде или в виде

Как было указано, уравнение (11) задает поле линейных элементов, и оно представлено на рис. 6. Если проинтегрировать уравнение (11), то в качестве интегральных кривых в смысле § 10 мы получим параболы (10) и две оси координат.

Рис. 6

Траекториями системы (8) являются те части (половины) парабол (10) и координатных осей на которые эти кривые разбиваются состоянием равновесия Из соотношений (9) видно, что если то точка на любой отличной от нуля траектории стремится к состоянию равновесия О при а если то при Напомним (см. § 5), что когда изображающая точка, двигаясь по отличной от состояния равновесия траектории стремится к некоторому состоянию равновесия то при этом всегда

Таким образом, разбиение на траектории, определенное системой (8) (с указанными на траекториях направлениями), имеет

вид, указанный на рис. 7. Состояние равновесия такого типа называется узлом, устойчивым в случае и неустойчивым в случае

Рассмотрим еще интерпретацию решений системы (8), т. е. интегральные кривые системы (8) в трехмерном пространстве

Рис. 7

Из формул (9) следует, что интегральными кривыми системы (8) в пространстве являются:

1) ось т. е. (эти уравнения получаются из уравнений (9) при ; она проектируется в состояние равновесия О фазовой плоскости;

2) показательные кривые

расположенные в координатных полуплоскостях или и асимптотически стремящиеся к оси при если и при если эти кривые проектируются в положительную и отрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекториями системы;

3) показательные кривые

аналогичные кривым типа 2);

4) кривые

расположенные на параболических цилиндрах с образующими, параллельными оси Ось разбивает каждый такой цилиндр на две «половины»; каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в одной половине цилиндра и асимптотически стремится к оси при если и при если Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси То же справедливо для интегральных кривых типа 2) или 3).

Пример 4.

(а — отличная от нуля постоянная).

Векторное поле, определенное этой системой (при изображено на рис. 8.

Рис. 8

Решая систему (12) как линейную систему с постоянными коэффициентами, мы получим решение, соответствующее начальным значениям к в следующем виде (оно, очевидно, является функцией в согласии с § 3):

Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее исследовать, переходя к полярным координатам. Мы получим после элементарных вычислений

Решение этой системы

является, очевидно, уравнением в полярных координатах траектории системы (12), проходящей при через такую

начальную точку полярные координаты которой Исключая из (15), получаем

Уравнение (16) дает, очевидно, все траектории системы (12). Если эти траектории являются логарифмическими спиралями. При получается состояние равновесия

Первое из двух уравнений (15) показывает, что все траектории стремятся к состоянию равновесия О при если (рис. 9), и при если (рис. 10). Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом, устойчивым в случае и неустойчивым при (точное определение фокуса будет дано в дальнейшем).

Рис. 9

Рис. 10

Рассмотрим уравнение

соответствующее системе (12). Оно очевидно является однородным. Интегрируя его (с помощью подстановки или мы получим соотношение

или

Первое из этих соотношений является общим интегралом системы (в смысле § 10) во всякой области, не содержащей точек (т. е. точек а второе — во всякой области, не содержащей точек оси Однако ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую,

расположенную в такой области, можно получить, «склеивая» куски кривых (17) и (18).

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось является интегральной кривой системы (12) в пространстве Остальные интегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направляющими спирали (16), а образующими — прямые, параллельные оси Эти интегральные кривые асимптотически приближаются к оси при если и при если

Рис. 11

Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при соответственно) существенно отличаются, но в некотором смысле поведение траекторий в том и в другом случаях одинаково: именно, в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при стремятся к состоянию равновесия. Пример 5.

Эта система получается как частный случай системы (12) при Решения, соответствующие начальным значениям имеют вид

Непосредственной проверкой (или используя нетрудно убедиться, что

является общим аналитическим интегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитический интеграл.

Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия и замкнутые траектории — концентрические окружности с центром в начале (рис. 11). Решения (20), соответствующие замкнутым траекториям — окружностям, являются периодическими функциями с периодом

Интегральными кривыми в трехмерном пространстве являются ось и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (21). Шаг каждой винтовой линии равен

Пример 6.

Векторное поле изображено на рис. 12. Решение системы, соответствующее начальным значениям имеет вид

Точка состояние равновесия.

Система имеет аналитический интеграл

Интегральными кривыми являются при гиперболы (24) и при координатные оси Каждая гипербола состоит из двух траекторий (ее Еетвей), и каждая из координатных осей — из трех траекторий (состояния равновесия О и двух полуосей).

Рис. 12

Рис. 13

Соответствующее разбиение на траектории указано на рис. 13.

Из выражений (23) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси (получающиеся из (23) при стремятся к состоянию равновесия при а траектории, являющиеся полупрямыми оси при Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом: Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае четыре полуоси называются сепаратрисами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к точке сепаратрисы, стремящейся к О при при неограниченном возрастании (убывании) удаляются от этой сепаратрисы. Обратим внимание на то, что такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 5 § 7 (о непрерывной зависимости от начальных условий), так как эта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на Кои очном

промежутке значений Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то для любого конечного промежутка значений теорема о непрерывной зависимости от начальных условий, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежутка величину (теоремы 5 § 7) нужно брать все меньше и меньше.

Рассмотрение интегральных крпвых системы (22) в пространстве аналогично приведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.

Пример 7.

Полагая или найдем

Интегрируя последнее уравнение, получим

Это — уравнение траекторий в полярных координатах. При этом очевидно, является решением (27), соответствующим т. е. траекторией. Траектории, проходящей через точку соответствует значение Если то при при (Очевидно, при этом изменяется в интервале Если то Тогда при при Отсюда следует, что траектории системы имеют вид, указанный на рис. 14. Второе из уравнений (26) показывает, что если траектория проходит через точку при то Состояние равновесия так же как в случае линейной системы (12) примера 4, является фокусом, причем неустойчивым.

Рис. 14

Траектория т. е. (в отличие от того, что было в примере 6), не окружена замкнутыми траекториями. Она

является изолированной замкнутой траекторией, и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности, стремятся к ней при Такая замкнутая траектория называется предельным циклом.

Несколько более сложные примеры, исследующиеся в основном непосредственным интегрированием, см. в [12].