§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов.

Мы указывали, что стационарным режимам реальной системы в описывающей ее системе дифференциальных уравнений соответствуют устойчивые узлы или фокусы (равновесные режимы) и устойчивые предельные циклы (автоколебательные режимы). Неустойчивые же предельные циклы и сепаратрисы (как мы увидим, не все сепаратрисы) являются разделяющими для области начальных значений на частичные

области, из которых изображающая точка стремится к различным стационарным. режимам. Естественно, таким образом, что в динамической системе, описывающей реальную систему, в которой параметр соответствует реальному времени, мы не можем считать роли значений где некоторое фиксированное значение (т. е. роли «прошедшего» и «будущего»), симметричными.

Мы остановимся здесь несколько подробнее на роли неустойчивых предельных циклов, и -сепаратрис (т. е. сепаратрис, стремящихся к седлу при в описании реальной системы. При этом, конечно, мы будем считать рассматриваемую динамическую систему грубой.

Предположим, что у этой динамической системы существует область начальных значений, границей которой является неустойчивый предельный цикл, как, например, в случаях рассмотренной выше динамической системы, описывающей жесткий режим.

Рис. 114

Если мы возьмем начальную точку в области притяжения состояния равновесия О (см. рис. 113, а) или в области притяжения устойчивого предельного цикла достаточно далеко от границы — неустойчивого предельного цикла то достаточно малые случайные толчки (которые мы всегда должны предполагать существующими в реальной системе) не выведут изображающую точку из соответствующей области притяжения, и она при увеличении будет стремиться все к тому же стационарному режиму. Очевидно, так же будет вести себя и соответствующая реальная система. Иначе обстоит дело, если начальное значение взять достаточно близко к разделяющему неустойчивому предельному циклу Малый случайный толчок может перекинуть изображающую точку в область притяжения состояния равновесия О либо в область притяжения предельного цикла поатому при начальных значениях, достаточно близких к разделяющему циклу существует неопределенность; в зависимости от случайных толчков возможно установление одного из двух равновесных режимов.

Полностью аналогичную роль играют -сепаратрисы седла. Сепаратрисы седла, стремящиеся к седлу при (а-сепаратрисы седла), стремятся при либо к устойчивому состоянию равновесия, либо к устойчивому предельному циклу (напоминаем, что мы естественным образом предполагаем систему грубой), так же как и все близкие к этой сепаратрисе траектории. Поэтому при малых случайных толчках изображающая точка, находящаяся вблизи точек такой сепаратрисы, не

выпадает из области притяжения того стационарного состояния, к которому стремится сепаратриса.

Однако ситуация делается другой, если начальная точка взята достаточно близко к точке -сепаратрисы такого седла, у которого две его -сепаратрисы стремятся к двум различным стационарным режимам (рис. 114).

В этом случае -сепаратриса седла С является граничной для двух областей притяжения различных устойчивых элементов (устойчивых состояний равновесия или предельных циклов), и поэтому малые случайные толчки могут привести к тому, что изображающая точка пойдет к одному или другому стационарному режиму. Здесь, так же как в предыдущем случае для реальной системы, имеет место некоторая неопределенность возможного поведения.