§ 8. Сводка сведений о грубых состояниях равновесия.

Пусть - состояние равновесия системы (А), а выражения для приведены в § 3 и

— характеристическое уравнение этого состояния равновесия. Для простого состояния равновесия по самому его определению т. е. корни уравнения (17) — характеристические корни — отличны от нуля. Уравнение, определяющее направления, по которым траектории стремятся к состояниям равновесия:

Корни характеристического уравнения (17) и корни уравнения (18) связаны соотношениями

Очевидно, корни действительны тогда и только тогда, когда действительны и

В зависимости от того, каковы характеристические корни состояния равновесия, система может быть в окрестности этого состояния равновесия приведена линейным преобразованием переменных к одному из следующих видов, которые называются каноническими (обозначения переменных сохраняются прежними).

1. Характеристические корни действительны и различны Канонический вид системы:

2. Характеристические корни равны Канонический вид системы:

( может быть как равным, так и не равным нулю).

3. Характеристические корни комплексно сопряженные Канонический вид системы:

(кликните для просмотра скана)

Ниже перечислены все возможные типы состояний равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней и приведены схематические рисунки расположения траекторий в их окрестности.

При этом для недикритического узла и для седла рисунки приводятся как в случае, когда рассматриваемая система имеет канонический вид (когда направления, по которым к состоянию равновесия стремятся траектории, совпадают с направлением осей координат), так и в общем случае (т. е. в случае, когда система не имеет канонического вида, так что направления могут быть любыми).

I. Узел (характеристические корни и действительны и одинаковых знаков, т. е.

А. Невырожденный узел

а) устойчивый: т. е. (рис. 41, 44);

б) неустойчивый: т. е.

(Рисунки даются только для устойчивого узла, в случае неустойчивого узла надо переменить направление стрелок. При этом рис. 41 соответствует случаю, когда система имеет канонический вид, а рис. 44 соответствует общему виду.)

Б. Вырожденный узел но в канонической форме :

а) устойчивый: (рис. 43, 45);

б) неустойчивый:

Рис. 50

(Рис. 43 соответствует случаю, когда система имеет канонический вид, а рис. 45 соответствует общему виду.)

В. Дикритический узел

а) устойчивый: (рис. 42);

б) неустойчивый: .

II. Седло (характеристические корни действительны и разных знаков, т. е. либо либо изображено на рис. 46 и 47 (рис. 46 соответствует случаю системы в каноническом виде при рис. 47 — общему случаю).

III. Фокус (характеристические корни комплексные сопряженные, т. е.

а) устойчивый: (см. рис. 48 и 49 для устойчивого фокуса в случае канонического вида системы: рис. 48 соответствует случаю рис. 49 — случаю рис. 50 соответствует случаю, когда система имеет общий вид);

б) неустойчивый:

Пример 1.

Состояние равновесия -седло. Определим направления сепаратрис в седле. Уравнение для нахождения углового коэффициента сепаратрис в седле имеет вид откуда Пример 2.

Состояние равновесия седло. Уравнение для определения направлений сепаратрис в седле: откуда Нетрудно видеть, что второе значение к есть а сепаратриса с наклоном есть прямая