§ 6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий для грубости системы.

Объединение полученных результатов дает следующие необходимые условия грубости:

I. В замкнутой области могут быть только грубые состояния равновесия, т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения отличны от нуля. Это требование может быть сформулировано еще так: в области не может быть состояний равновесия для которых:

II. В области могут быть только простые (грубые) предельные циклы, т. е. такие предельные циклы, для которых характеристический показатель не равен нулю. Это требование может быть сформулировано еще и так: в области не может быть периодических движений

для которых

III. В области не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.

В силу этих условий в грубой системе возможны особые траектории лишь следующих типов: грубые состояния равновесия, т. е. состоянпя равновесия узел, фокус и седло, простые (грубые) предельные циклы, сепаратрисы седел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу или при некотором значении выходящие из замкнутой области

Предельными траекториями в грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы (см. следствие из теоремы 10).

Сформулируем еще следующую теорему, непосредственно вытекающую необходимых условий грубости.

Теорема 11. У грубой в замкнутой области системы может существовать только конечное число предельных циклов.

Необходимые условия I—III являются также достаточными для грубости системы вида (А). Именно, имеет место

Теорема 12. Если для системы (А) в области выполняются условия I—III, то такая система в области является грубой.

Доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы (А), достаточно близкой к системе (А), такого топологического отображения области в себя, при котором траектории системы (А) отображаются в траектории системы (А) и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга.

В заключение сформулируем следующую теорему, которая позволяет охарактеризовать, какое место грубые динамические системы вида (А) занимают среди всевозможных систем, рассматриваемых в замкнутой области

Теорема 13. Если система является грубой в области то существует такое, что все измененные системы -близкие к системе (А), также являются грубыми в области (и имеют ту же качественную структуру).