§ 4. Основная теорема.

Приведем сначала следующие основные вспомогательные предложения, касающиеся пересечения траектории с дугой без контакта.

I. Точки пересечения незамкнутой траектории с дугой без контакта, соседние по значениям являются также соседними и на дуге I. Действительно, предположим, что точки пересечения траектории с дугой без контакта I соответствуют значениям и что при значениях между и У траектории нет больше общих точек с дугой I. Для определенности предположим, что Тогда, очевидно, возможен один из случаев, представленных на рис. 21. Часть дуги очевидно, уже не может иметь общих точек с траекторией так как ни часть траектории соответствующая значениям ни часть, соответствующая значениям не может уже больше пересечь часть дуги противном случае траектория, очевидно, должна была бы пересечь эту дугу I в противоположном направлении, что невозможно).

Это геометрически очевидное предложение, опирающееся на тот факт, что всякая простая замкнутая кривая на плоскости разделяет плоскость на две области (область вне и область внутри этой кривой), является основным предложением при рассмотрении возможного характера траекторий на плоскости.

Рис. 21

Рис. 22

На основании соображений, аналогичных приведенным в связи с предложением I, нетрудно убедиться в справедливости следующего предложения:

II. Замкнутая траектория может иметь с отрезком без контакта только одну точку пересечения (ситуация, изображенная на рис. 22, невозможна).

Приведем еще одно предложение, являющееся следствием предложения I и определения предельной точки.

III. Пусть незамкнутая полутраектория имеет предельную траекторию отличную от состояния равновесия. Если через какую-нибудь точку траектории проведена дуга без контакта, то на этой Дуге без контакта будет лежать бесконечная последовательность точек полутраектории расположенных в порядке возрастания стремящаяся к точке (рис. 23).

Рис. 23

Следующая теорема является основной теоремой, на основании которой могут быть сделаны заключения относительно возможного характера траектории на плоскости.

Теорема 3 (основная теорема). Если полутраектория не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию,

не являющуюся состоянием равновесия, то она сама не может быть предельной.

Доказательство опирается на предложения I и III.

Следствие. Незамкнутая траектория не может быть самопредельной.

Теорема 3 отражает черты, характерные для траекторий динамической системы на плоскости (а также на сфере), и несправедлива для траекторий в других фазовых пространствах (например, на торе или в евклидовом пространстве трех измерений).

Приведем еще две теоремы, которые позволяют полностью установить возможный характер множества предельных точек полутраектории.

(Доказательство первой из этих теорем целиком опирается на теорему о непрерывной зависимости от начальных значений, а также на предложение III.)

Теорема 4. Если полутраектория имеет замкнутую предельную траекторию то является единственной предельной траекторией для

Теорема 5. Если среди предельных точек полутраектории нет состояний равновесия, то она либо замкнута, либо не замкнута, но имеет замкнутую предельную траекторию.

Замкнутая траектория являющаяся либо либо -предельной траекторией для всех отличных от нее траекторий, проходящих через достаточно близкие к ней точки (как внутри так и вне называется предельным циклом. Очевидно, предельный цикл является изолированной замкнутой траекторией, т. е. через некоторую его окрестность, кроме него, не проходит больше ни одной замкнутой траектории. С другой стороны, всякая изолированная замкнутая траектория является предельным циклом, т. е. является предельной траекторией.

Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории, проходящие через точки достаточно малой его окрестности, стремятся к нему при и неустойчивым, если все такие траектории стремятся к нему при (см. рис. 64 гл. 5).

Предельный цикл называется полу устойчивым, если все траектории, проходящие через достаточно близкие к нему точки, лежащие вне его, стремятся к нему при а лежащие внутри — при (см. рис. 65 гл. 5).