ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ОСОБОЙ ТОЧКИ)

Введение. В предыдущих главах были даны сведения о том, какова вообще возможная качественная структура траекторий и расположения траекторий на фазовой плоскости, что нужно знать для того, чтобы знать эту качественную структуру. В частности, как мы видели, нужно знать характер состояний равновесия. В настоящей главе будут указаны методы определения характера состояния равновесия для некоторых классов состояний равновесия.

§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки).

Пусть - состояние равновесия (особая точка) системы (А), так что

Введем обозначения:

Состояние равновесия, для которого

называется простым.

Разлагая в окрестности простого состояния равновесия правые части в ряд по степеням , мы,

очевидно, получим

где ряды относительно , начинающиеся с членов не ниже второго порядка. Перенося начало координат в точку , т. е., другими словами, полагая

мы можем записать систему (А) в виде

где