ГЛАВА 18. ИССЛЕДОВАНИЕ КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА

§ 1. Уравнение из теории электрических машин.

Рассмотрим уравнение [123]

где функция периодическая с периодом при кусочно-линейной аппроксимации

В качестве фазового пространства будем рассматривать полосу, заключенную между прямыми Точки этих прямых, имеющие одинаковые ординаты, отождествляем. Введем малый положительный параметр, полагая и перейдем к системе, близкой к кусочно-линейной:

Изучение периодических решений системы (1) позволяет строго установить качественную картину разбиения фазового пространства на траектории для малых к и у и выяснить, как изменяется эта картина при изменении параметров.

Траектории системы при имеют либо вид замкнутых кривых, охватывающих состояние равновесия (типа центра) в точке либо замкнутых кривых, сшитых из кусков эллипсов и гипербол, охватывающих пространство (цилиндр). Эти две области разделяются сепаратрисами, составленными из кусков прямых и эллипсов, идущими из седла в седло (в точках система (1) при имеет простые седла).

При но сколь угодно малом, замкнутые кривые, охватывающие состояние равновесия или фазовый цилиндр, превращаются в спирали, и только некоторые из интегральных кривых остаются замкнутыми, т. е. превращаются в предельные циклы. Сепаратрисы, образующие вместе с состояниями равновесия при замкнутый контур, для вообще не будут образовывать такой контур, также превращаясь в спирали,

накручивающиеся на предельный цикл или состояние равновесия или уходящие в бесконечность. Знание характера и расположения предельных циклов позволяет однозначно определить качественную структуру разбиения фазового пространства на траектории.

Система (1) может иметь как циклы, охватывающие цилиндр, так и циклы, охватывающие состояние равновесия Будем отыскивать циклы, охватывающие цилиндр. Тогда, применяя теорему 1 § 5 гл. 12 и учитывая п. 5 § 4 гл. 17, будем иметь

Здесь части интегральной кривой системы (1), при проходящей через точку расположенные соответственно в интервалах Уравнения кривых соответственно будут

Интегрирование ведется в направлении движения по траекториям. Если то, вычисляя интеграл в правой части равенства (2), получим

Для выяснения числа корней уравнения

находим

Исследуя поведение функции в интервале заключаем, что при функция монотонно убывает, если и имеет один максимум, если Отсюда легко видеть, что при

уравнение (3) имеет один положительный корень. Система (1) имеет устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, в верхнем фазовом полупространстве.

В области пространства параметров определяемой соотношениями

уравнение (3) имеет два положительных корня. Система (1) при этом имеет два предельных цикла в верхнем фазовом полупространстве. При этом большему корню уравнения (3) соответствует устойчивый, а меньшему — неустойчивый предельный цикл.

Отыскиваем далее предельные циклы, охватывающие цилиндр и расположенные в нижнем фазовом полупространстве

Интегрируя выражение (2) и полагая будем иметь

Аналогично предыдущему можно показать, что при система (1) не может иметь более одного предельного цикла, охватывающего цилиндр в нижнем фазовом полупространстве. Если

то система (1) в нижнем фазовом полупространстве имеет устойчивый предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр.

Находим, наконец, предельные циклы, охватывающие состояние равновесия.

Тогда, применяя теорему 1 § 5 гл. 12, будем иметь

Здесь части интегральной кривой системы проходящей через точку расположенные соответственно в интервалах

Уравнения кривых имеют вид

Из выражения (4) следует, что при уравнение не имеет действительных корней.

Пусть Легко видеть, что

При значениях удовлетворяющих условию (5), имеем

Отсюда находим, что при существует единственный устойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия. Аналогично можно показать, что при система (1) не имеет циклов, охватывающих состояние равновесия.

Для выяснения качественной картины фазовых траекторий заметим, что состояние равновесия будет устойчивым фокусом при и неустойчивым фокусом при

На рис. 199 приведено разбиение пространства параметров и на области, точкам которых соответствует определенная качественная картина фазовых траекторий.

В области 1:

система (1) имеет два предельных цикла, охватывающих цилиндр в верхнем фазовом полупространстве. Верхний цикл устойчивый, нижний неустойчивый.

В области 2:

система (1) не имеет предельных циклов.

В области 3:

система (1) имеет один устойчивый цикл, охватывающий цилиндр в верхнем фазовом полупространстве.

Рис. 199

В области 4:

еистема (1) имеет один устойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия, и один устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр в верхнем фазовом полупространстве.

В области 5:

еистема (1) имеет один устойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия. В области 6:

система имеет один устойчивый предельный цикл в верхнем полупространстве.

В области 7:

система (1) имеет два устойчивых цикла, охватывающих цилиндр. Один из них расположен в нижнем, а другой в верхнем фазовом полупространстве.

Качественные картины фазовых траекторий для перечисленных областей изображены на рис. 200.

Рис. 200

Рассмотрим качественные картины фазовых траекторий на бифуркационных поверхностях.

На поверхности (4), определяемой соотношениями

система имеет полуустойчивый и предельный цикл, охватывающий цилиндр в верхнем фазовом полупространстве (рис. 201,1.2).

На поверхностях и соответственно (рис. 201, 1.3 и 201, 6.7)

предельные циклы, схватывающие цилиндр соответственно в верхнем и нижнем фазовых полупространствах, будут «влипать» в сепаратрисы, идущие из седла в седло.

На плоскости предельный цикл, охватывающий состояние равновесия «влипает» в сепаратрису, идущую из седла в то же седло (рис. 201, 4.6). На поверхности в точке система имеет состояние равновесия типа центра (рисунок не приводится).

Рис. 201

На рис. 201 изображены качественные картины фазовых траекторий, соответствующих бифуркационным значениям параметров; указываются номера тех областей, на границе между которыми система (1) имеет указанную качественную картину фазовых траекторий.