§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного мотора.

Приведем некоторые примеры систем с более сложным разбиением пространства параметров — грубым по отношению к некоторому классу характеристик. Рассмотрим систему (уравнения автоколебаний синхронного мотора) (гл. 18, § 3)

где (нечетная) и -периодические с периодами соответственно для трех видов характеристик: аналитической (рис. 243, а), полигональной (рис. 243, б) и релейной (рис. 243, в).

Введем малый положительный параметр положив рос, Для аналитических характеристик получим уравнения

Система (10) имеет два состояния равновесия: фокус и седло. При малых фокус будет устойчивый, если а и неустойчивый, если

Структура разбиения фазового пространства на траектории определяется характером особых точек, характером и расположением предельных циклов и поведением сепаратрис. Мы рассмотрим эту систему методом Понтрягина (см. гл. 15).

Рис. 243

При система (10) имеет интеграл Значениям константы из интервала соответствуют замкнутые интегральные кривые, охватывающие состояние равновесия (типа центр), значениям из интервала охватывающие фазовый цилиндр. При сепаратрисы седла образуют петлю, охватывающую цилиндр. Если систему (10) записать в виде

то значения константы выделяющие кривые консервативной системы, вблизи которых при малом на верхнем и нижнем полуцилиндрах будут предельные циклы системы соответственно определяются как корни уравнений

где

Здесь - полные эллиптические интетралы первого и второго рода и введены обозначения

Значения константы выделяющие кривые консервативной системы, охватывающей состояние равновесия, определяются как корни уравнения

где

Корни уравнений зависят от двух параметров В плоскости можно получить разбиение на области, соответствующие различным возможным распределениям корней уравнений. Каждому распределению будет соответствовать определенная структура разбиения фазового пространства на траектории. Следующий набор условий (каждому условию соответствует некоторая кривая в плоскости определяет все возможные в системе (9) бифуркации:

Положим для определенности и будем рассматривать верхнюю полуплоскость получаем разбиение пространства параметров, симметричное области относительно оси о). В этом случае уравнение имеет не более одного корня, не более двух корней. Перечисленному набору условий соответствуют следующие уравнения граничных кривых и бифуркаций:

1. - при возрастании а из фокуса появляется неустойчивый предельный цикл.

2. - при возрастании о устойчивый предельный цикл появляется из при убывании а неустойчивый предельный цикл появляется из —

3. - при возрастании а из сепаратрисы седла появляется устойчивый (так как в седле предельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

4. - при убывании а от петли сепаратрисы на верхнем полуцилиндре появляется устойчивый предельный цикл.

5. при возрастании а от петли сепаратрисы на нижнем полуцилиндре появляется неустойчивый (если или при убывании а от петли сепаратрисы появляется устойчивый (если предельный цикл.

6. При кривая не существует (в верхнем полуцилиндре не может быть двух предельных циклов при

7. Если обозначить то параметрические уравнения кривой будут

Кривая проходит между точками При возрастании о двойной предельный цикл, возникший на нижнем полуцилиндре из сгущения траекторий, разделяется на два (нижний—неустойчивый, верхний — устойчивый)

8. Из исключая а, получаем уравнение для определения Уравнение имеет единственный корень соответствующий При возрастании а исчезает двойной предельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

Разбиение пространства параметров на области, которым соответствуют различные качественные структуры разбиения фазового пространства, представлено на рис. 244. Штриховкой отмечены две тонкие области, для точек которых в фазовом пространстве есть два предельных цикла.

Исследование системы (9) при полигональных и разрывных характеристиках может быть аналогично проведено методом малого параметра (см. гл. 18) [66].

Система (9) с полигональными характеристиками (см. рис. 243, б) и малым параметром имеет при интеграл

Замкнутые кривые семейства (12) при охваты» вают особую точку, при фазовый цилиндр. Состояния равновесия при смещены с линии сшивания и будут — фокус и - седло.

Рис. 244

Приведем (в том же порядке, что и для уравнения границ в пространстве параметров

6) при не существует,

7) кривая проходит между точками

Разбиения фазового пространства и пространства параметров для полигональных характеристик останутся качественно тождественными разбиениям для характеристик рис. 243, а. Сохранятся и тонкие области, для точек которых в фазовом пространстве есть два предельных цикла. Их размеры лишь незначительно изменятся. На рис. представлены разбиения цилиндрического фазового пространства соответственно для областей 1 и 2 рис. 244.

Для полигональных характеристик (см. рис. 243, б) качественно эквивалентные рис. разбиения фазового пространства будут соответствовать областям пространства параметров, расположенных, как и на рис. 244, в полосе Для обеих рассмотренных аппроксимаций уравнения (9) области 1 и 2 в пространстве параметров будут разделены узкой полосой, для точек которой в фазовом пространстве есть два предельных

цикла, не исчезающей при изменении аппроксимации, несмотря на весьма малую ее ширину (максимальная ширина порядка 0,015 для весьма быстро убывает при так как бифуркационная кривая между точками касается в точке А прямой, ограничивающей снизу область 2).

Рис. 245

Грубость пространства параметров по отношению к изменению характеристики с сохранением «тонких» элементов не является очевидной и связана с сохранением для различных аппроксимаций особенностей бифуркаций при возникновении и исчезновении петли сепаратрисы. Эти особенности определяются знаком величины для седла (см. гл. 10).

Для фиксированного а при возрастании параметра можно перейти из области 1 в область 2. При этом разбиение фазового пространства, изображенное на рис. 245, а, переходит в разбиение на рис. При значении (это значение единственное в силу монотонности изменения направления векторного поля при монотонном изменении и -сепаратрисы седла на нижнем полуцилиндре должны образовать петлю, охватывающую цилиндр.

От петли, однако, не может появиться неустойчивый предельный цикл, изображенный на рис. так как седловая величина, которая при обеих аппроксимациях (см. рис. 243, а, б) с точностью до членов порядка дается выражением в интервале отрицательна следовательно, при возрастании в петлю сепаратрисы должен превратиться устойчивый предельный цикл. Чтобы это оказалось возможным, необходимо должен возникнуть двойной предельный цикл при возрастании до значения (рис. 245,б).

Этот цикл затем разделяется на два (верхний — устойчивый, нижний — неустойчивый) (рис. 245,в), и устойчивый предельный цикл превращается в петлю сепаратрисы (рис. 245,г), исчезающую при дальнейшем возрастании и порождающую

разбиение, представленное на рис. 245, д (последовательные переходы от а до д представлены на рис. 245, а-д).

Высказанные соображения позволяют выделить класс характеристик, для которых области необходимо разделяются областью с двумя циклами. Все сказанное может быть почти дословно повторено по отношению к условиям существования тонкой полосы с фазовым пространством, содержащим два предельных цикла (охватывающих состояние равновесия) и разделяющей области

При изменении характеристик, вообще говоря, будут перемещаться бифуркационные кривые на плоскости параметров и их точки пересечения. Если на плоскости параметров есть точки, в которых пересекаются более двух бифуркационных кривых (и, следовательно, смыкаются более четырех областей), то окрестность таких точек при изменении характеристик может изменить качественную структуру разбиения плоскости параметров при соответствующем изменении характеристики.

Сохранение структуры разбиения плоскости параметров в этих точках требует более жестких условий для класса характеристик, не изменяющих структуру разбиения плоскости параметров. Такой точкой, например, для рассматриваемой плоскости параметров при характеристиках рис. 243, а, б будет точка А, в которой смыкаются пять областей. Неизменность качественной структуры разбиения плоскости параметров системы (9) при характеристиках рис. 243, а, б обуславливается тем, что величина с точностью до величин порядка для фокуса и для седла имеет одинаковое значение при обеих аппроксимациях, и при изменении знака а не только появляется цикл из особой точки, но и происходит изменение характера бифуркаций для петли сепаратрисы. Это условие не будет соблюдено, если перейти к релейным характеристикам.

Рассмотрим [109] систему (9) с релейными характеристиками (см. рис. 243, в) и малым параметром При система будет иметь интеграл

Замкнутые кривые семейства (13) при охватывают особую точку, при фазовый цилиндр. Система будет иметь особые точки на линиях сшивания: в точке квазифокус, в точке -седло, сшитое из обыкновенных траекторий.

Функции для релейных характеристик имеют особенно простой вид. Приведем выражение для имеющей некоторые интересные особенности:

Здесь

На рис. 246 в плоскости изображены кривые (14) для различных с. При функция для совпадает с отрезком оси следовательно, имеет континуум корней.

Рис. 246

Переход а через нуль, соответствующий последовательности изменения качественных структур, представленной на рис. 247, будет аналогом бифуркации, соответствующей рождению неустойчивого предельного цикла из особой точки. Предельный цикл появляется из границы области, заполненной замкнутыми кривыми. При сшитое состояние равновесия на линии склейки будет «центр с точностью до величин порядка При учете членов порядка в полосе будут медленно закручивающиеся или медленно раскручивающиеся спирали. В этом можно убедиться, построив, например, функцию последования на полупрямой на линии сшивания. Она будет иметь вид

Функция описывающая бифуркации в окрестности особой точки с учетом членов порядка может быть получена из так называемых вторых приближений.

Приведем уравнения границ на плоскости

7) кривая проходит между точками

Разбиения фазового пространства системы (9) с релейными характеристиками не будут для всех областей пространства параметров качественно эквивалентными соответствующим разбиениям для аналитических и полигональных характеристик, но будут в случаях различия сходными, допускающими отождествление в указанном выше смысле.

Рис. 247

Различие в бифуркациях будет на прямой (рождение неустойчивого предельного цикла при изменении знака о из границы некоторой области, содержащей внутри особую точку).

Разбиение пространства параметров для системы с релейными характеристиками отличается от представленного на рис. 244 расположением кривой Точка А не лежит на оси Кривая касается в точке А границы области 2 при На интервале возможен при возрастании непосредственный переход, минуя область с двумя циклами от разбиения (см. рис. 245, а) к разбиению (см. рис. 245, д) через рождение неустойчивого предельного цикла от петли сепаратрисы, охватывающей цилиндр. Характер и взаиморасположение других бифуркационных кривых не изменяются при замене полигональных или аналитических характеристик релейными (рис. 248).

Рис. 248