§ 4. Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятникового типа.

Уравнение

представляет интерес для ряда задач механики, электротехники, теории фазовой автоподстройки частоты и т. д. при различных характеристиках

Мы покажем, что если функция дифференцируемая, периодическая с периодом кусочно-монотонная с двумя экстремумами на периоде и такая, что

то пространство параметров будет грубым по отношению к классу характеристик

Пространство параметров разбивается на три области, соответствующие трем возможным грубым разбиениям на траектории фазового пространства Различным соответствует

лишь различное расположение на плоскости параметров бифуркационных кривых на интервале Уравнению (1) эквивалентна система

или уравнение

Будем рассматривать (3) и (4) на фазовом цилиндре (прямые отождествляются). Два состояния равновесия (3) или две особые точки (4) располагаются на оси и для любых характеристик класса будут фокус и седло.

Рис. 240

Характер состояний равновесия определяется по корням характеристического уравнения и будет зависеть от знака в соответствующей точке. Производная в двух соседних особых точках имеет разные знаки. Для фокус устойчивый. При особые точки сливаются, образуя особую точку типа седло-узел.

Критерий Дюлака (см. гл. 6) позволяет сделать исчерпывающие высказывания о бифуркациях, связанных с предельными циклами. Так как величина не меняет знака в рассматриваемой области пространства параметров, то не существует предельных циклов, охватывающих состояние равновесия, и не может быть более одного предельного цикла, охватывающего фазовый цилиндр. Бифуркации, связанные с появлением предельного цикла из сгущения траекторий (связанные с рождением двойного предельного цикла), для рассматриваемого класса характеристик невозможны.

Условие (2) позволяет утверждать, что бифуркация, связанная с петлей сепаратрисы, возможна только в верхнем полуцилиндре В самом деле, если существует замкнутый контур, составленный из интегральных кривых уравнения (4), то

должно быть

или в силу (2)

но это невозможно при и лоложительных Каждая траектория системы (3) на нижнем полуцилиндре пересекает ось (если только она не будет -сепаратрисой седла).

Теперь остается установить для характеристик рассматриваемого класса возможность бифуркаций, связанных с появлением предельного цикла из петли сепаратрисы в верхнем полуцилиндре.

Для определенности выберем так начало отсчета по координате чтобы для характеристики выполнялись условия (для системы (3) это всегда возможно). Другой корень уравнения обозначим

Введем систему сравнения (5)

Характеристика расположена ниже характеристики системы (3). Векторное поле системы (5) повернуто по отношению к векторному полю системы (3) на положительный угол на верхнем полуцилиндре.

Качественная структура разбиения фазового пространства и пространства параметров системы сравнения (5) могут быть легко получены. Для системы (5) при существует лишь одна структура разбиения фазового пространства на траектории. Все траектории идут из бесконечности к устойчивому предельному циклу на верхнем полуцилиндре, расположенному в полосе

Проследим поведение траекторий системы (3) на верхнем полуцилиндре, используя сведения о поведении траекторий системы (3) при и систему сравнения (5).

Рассмотрим разбиение на траектории для системы (3) при Уравнение (4) интегрируется. На фазовом цилиндре две особые точки: (центр) и (седло); — корни уравнения

Уравнение сепаратрис, проходящих через седло, будет

Функция периодическая с периодом кусочно-монотонная с двумя экстремумами на периоде в точках обращающаяся в нуль в точках

Уравнение

кроме двойного корня всегда имеет при единственный простой корень Поэтому сепаратриса (6) при образует петлю, охватывающую состояние равновесия Отметим, что -сепаратриса седла на верхнем полуцилиндре не может возвратиться в то же седло и, накручиваясь на цилиндр, уходит в бесконечность (при бесконечность устойчива).

Лишь при будет и сепаратриса образует петлю, охватывающую цилиндр. Для любого всегда можно выбрать столь малое что -сепаратриса седла на верхнем полуцилиндре также будет накручиваться на цилиндр. Так как при бесконечность для системы (3) неустойчива, то отсюда следует существование для малых устойчивого предельного цикла, охватывающего цилиндр (единственного в силу критерия Дюлака) (рис. 240, б).

Для больших структуру разбиения фазового пространства на траектории можно установить, используя систему сравнения (5). На верхнем полуцилиндре изображающая точка, двигающаяся по траектории системы (3), слева направо пересекает траектории системы (5) сверху вниз. Пусть есть точка пересечения -сепаратрисы седла на верхнем полуцилиндре с прямой Если выбрать так, чтобы верхний край полосы, содержащий предельный цикл системы (3), лежал ниже прямой следовательно, выполнялось условие то -сепаратриса седла на верхнем полуцилиндре попадет в область (выше полосы, содержащей предельный цикл системы (5)), заполненную траекториями, пересекающими траектории системы (5) сверху вниз. В этом случае предельный цикл системы (3) не может существовать. Такой выбор при всегда возможен, так как с возрастанием векторное поле поворачивается по часовой стрелке и, следовательно, растет (рис. 240, а).

Из сравнения структур разбиения фазового пространства для малых и для больших следует существование при бифуркационной кривой, для точек которой и

-сепаратрисы на верхнем полуцилиндре образуют петлю, охватывающую цилиндр. Эта кривая будет однозначной по для так как монотонному изменению соответствует монотонный поворот векторного поля на верхнем полуцилиндре. Бифуркационная кривая начинается в точке

При на оси сложная особая точка седло-узел. Существует единственное значение при котором а- и -сепаратрисы седло-узла образуют петлю, охватывающую цилиндр. При существует устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр; при все траектории имеют предельной точкой седло-узел.

Рис. 241

Циклов нет. Для при любых существует единственный устойчивый предельный цикл, так как в этом случае нет особых точек, а бесконечность неустойчива (рис. 240, в).

Для уравнения (1) класс может быть, например, расширен за счет полигональных характеристик (рис. 241, а)

или характеристик релейного типа (рис. 241, б)

Здесь А - внутренний параметр» семейства характеристик.

Для этих характеристик легко найти уравнения кривых, на которых происходят бифуркации. Например, легко обнаружить, что при характеристике (7) бифуркационная кривая в плоскости проходит через начало координат и точку ( в которой происходит смыкание с вертикальным куском границы.

Особенно простое уравнение бифуркационной кривой будет при (при этом характеристика (7) становится разрывной):

При в фазовом пространстве на линии сшивания нет особых точек. Для две особые точки — фокус и (на линии сшивания) седло, сшитое из обыкновенных траекторий. Для на линии сшивания сложная особая точка, исчезающая при 1-

При характеристике (8) смыкание бифуркационной кривой с вертикальным куском границы происходит в точке где корень уравнения

Рис. 242

При в фазовом пространстве на линиях сшивания две особые точки, сшитые из обыкновенных траекторий: сшитый фокус и сшитое седло. При возникает особое образование (рис. 242), сходное с седло-узлом, содержащее отрезок притяжения исчезающее при возрастании у (индекс замкнутой кривой, содержащей внутри отрезок притяжения с примыкающими к нему траекториями, равен нулю).

Пространство параметров уравнения (1) будет грубым по отношению к классу характеристик если отождествить в указанном выше смысле сходные элементы притяжения или отталкивания.