§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование).

Пример 1. Рассмотрим систему, которая (при предположении малости некоторых параметров) может служить моделью частотно-фазовой автоподстройки частоты (см.

Очевидно, эта система является близкой к очень простой консервативной системе на цилиндре

интеграл которой

На плоскости это — прямые, параллельные оси на фазовом цилиндре все кривые замкнуты (окружности). Составим

выражение для Так как в рассматриваемом случае

то

где, очевидно,

Мы получаем

или, вводя обозначение будем иметь

Для того чтобы найти значения при которых от кривой консервативной системы рождается предельный цикл, нужно, очевидно, рассмотреть уравнение (которое мы получим, если приравнять нулю числитель выражения

Это — кубическое уравнение, которое может быть исследовано известными методами. Мы, однако, не будем останавливаться на его исследовании подробно, а покажем только, что существуют как значения параметров и [5, при которых это уравнение имеет только один корень, так и значения параметров, при которых это уравнение имеет три корня. Очевидно, случай, когда уравнение (3) имеет один корень, соответствует случаю (при достаточно малых когда существует один устойчивый предельный цикл, а случай, когда это уравнение имеет три корня, соответствует случаю, когда система (1) имеет три предельных цикла — два устойчивых и между ними неустойчивый.

При граничном значении (по смыслу константы всегда уравнение (3) превращается в уравнение

имеющее единственный действительный корень Очевидно, уравнение (3) будет иметь единственный действительный корень и при всех достаточно малых При достаточно больших (член наивысшей степени по при он отрицателен). В нуле функции очевидно,

что и означает, что соответствующий предельный цикл устойчив.

Для доказательства существования значений параметров, при которых у системы (1) существует три цикла, найдем сначала значения параметров, при которых уравнение имеет трехкратный корень. При этих значениях параметров должны удовлетворяться следующие три уравнения:

Из последнего уравнения находим

Подставляя это значение в первые два из уравнений (4) (и сокращая первое уравнение на получаем следующие два соотношения для параметров, при которых имеет тройной корень (а система -трехкратный цикл):

Отсюда мы получаем значения для при которых выполняются условия (4) (т. е. уравнение имеет трехкратный корень):

Представим теперь в следующем виде, раскладывая по степеням и принимая во внимание, что

где когда

Но, очевидно, мы всегда можем, принимая во внимание выражение (5) и полагая

т. е. выбирая так, чтобы взять таким, чтобы

было бы не равно нулю и знака, противоположного знаку Тогда, очевидно, уравнение (6), которое принимает вид

будет иметь, кроме еще два различных корня, Нетрудно, принимая во внимание вид а значит, и знак убедиться в том, что больший и меньший корни соответствуют устойчивым предельным циклам, а средний — неустойчивому предельному циклу.

Пример 2 (динамическая система, описывающая динамику синхронного мотора в простейшей идеализации). Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

Полагая и записывая уравнение (7) в виде системы, получаем

где Семейство кривых

имеет вид, представленный на рис. 138, а.

Значениям из интервала соответствуют замкнутые траектории, охватывающие состояние равновесия типа центра, значениям из интервала замкнутые траектории, охватывающие цилиндр; при сепаратрисы седла образуют петлю, охватывающую цилиндр (см. рис. 138, а).

По критерию Бендиксона циклов, охватывающих состояние равновесия, нет. Функция Понтрягина для верхнего полуцилиндра имеет вид

Для нижнего полуцилиндра соответствующая функция будет отличаться знаком перед радикалом и, следовательно, всегда будет положительной. Поэтому на нижнем полуцилиндре циклов нет. Полагая мы получим

где полный эллиптический интеграл второго рода:

Далее мы имеем

где F - полный эллиптический интеграл первого рода и

Используя разложения (8) и (9), мы, очевидно, получаем

Для существования циклов необходимо, чтобы

или

Очевидно, нули этого уравнения будут абсциссами точек пересечения кривой и прямой (рис. 139). Уравнение может иметь не более одного корня так как при

Рис. 139

Рис. 140

Из условия находим границу области существования предельного цикла:

Плоскость параметров представлена на рис. 140. Заштрихованная область соответствует значениям параметров, при которых есть цикл.

Пример 3 (фазовая автоподстройка частоты). Рассмотрим динамическую систему

которая является одной из моделей фазовой автоподстройки частоты. Мы рассмотрим эту систему в предположении, что малы. Заменяя 4 на и на получим систему с малым параметром

которую рассмотрим методом Понтрягина как близкую к консервативной, получающейся из (11) при При система (11) имеет интеграл

и семейство кривых имеет вид, представленный на рис. 138, а. Если систему (11) записать в виде

то значения константы выделяющие кривые консервативной системы, вблизи которых при малом на верхнем и нижнем полуцилиндрах будут предельные циклы системы, соответственно определяют как корни уравнений

т. е.

Для уравнения замкнутых кривых охватывающих цилиндр, будут а для будут

Полагая мы получим

Здесь -полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода и к изменяется в интервале Верхний знак соответствует индексу 1 в обозначении 1,2, а нижний — индексу 2.

Значения константы выделяющие кривые консервативной системы, охватывающие состояние равновесия, определяются как корни уравнения

Здесь

одна из кривых при

Как нетрудно видеть,

где корень уравнения (геометрический смысл см. рис. 141).

Полагая (в интервале для функции Понтрягина окончательно получаем

Корни уравнений зависят от параметров Пространство параметров можно разбить на области, соответствующие различным возможным распределениям корней уравнений. Каждому такому распределению будет соответствовать определенная структура разбиения фазового пространства на траектории. Условия появления или исчезновения корней (бифуркации) дают уравнения граничных поверхностей, разбивающих пространство параметров на области.

Рис. 141

Для исследования поведения функций Понтрягина вычислим их производные по k. Принимая во внимание, что

из (13) получим

Здесь, как и в (13), верхний знак соответствует индексу 1 и введено обозначение

Заметим, что для х О всегда положительно (приложение I).

Вторая производная будет

Для находим

В дальнейшем будем считать фиксированным и проследим за возможными бифуркациями в плоскости параметров

1. Бифуркации, связанные с поведением функции ...

Рассмотрим поведение на интервале Используя разложения

для малых х из (13) находим

где невыиисанные члены уже не содержат х в знаменателе. Из (22) следует, что

Заметив, что но при из (13) находим

Представим выражение для из (16) в виде

из (25) получаем

Покажем, что может иметь не более одного экстремума (максимума). Это будет следовать из того, что при условии будет всегда Из (16), (17) видно, что обращается в нуль при значении

Для из (18) и (27) находим

так как выражения в квадратных скобках положительны в интервале (приложения I и II).

Сопоставляя (23), (26) и (28), заключаем, что при функция будет монотонной (возрастающей); при она будет иметь один максимум.

Возможные типы поведения функции представлены на рис. 142.

Если то существует единственный корень функции соответствующий предельному циклу, охватывающему верхний фазовый полуцилиндр (устойчивому, так как

Рис. 142

Рис. 143

Рис. 144

Если при этом то из (24) следует, что при возрастании ко значение может стать отрицательным, и тогда функция корней иметь не будет. Значениям параметров,

при которых соответствует стягивание устойчивого предельного цикла к петле сепаратрисы седла, охватывающей верхний фазовый полуцилиндр (рис. 143).

Если (и, следовательно, то при опять существует единственный корень но теперь функция имеет один максимум и при перемене знака (при возрастании из точки появляется второй корень функции соответствующий неустойчивому предельному циклу на верхнем фазовом полуцилиндре.

На верхнем фазовом полуцилиндре будет два предельных цикла (рис. 144).

При дальнейшем возрастании эти циклы сближаются, сливаются в двойной (полуустойчивый) и затем исчезают.

Бифуркационная кривая, соответствующая существованию двойного цикла, определяется условиями

или в параметрическом виде

где то же, что в (13) и (17).

Нетрудно обнаружить, что бифуркационная кривая двойных циклов (28) при уходит в бесконечность (прямая будет асимптотой), а при имеет предельную точку расположенную на бифуркационной кривой петель сепаратрис

2. Бифуркации, связанные с поведением функции ...

Для из (13) имеем

Из (16) видно, что отличается от только знаком. Поэтому в силу (26) будет

Кривая будет иметь экстремум (минимум) лишь для отрицательных значений но из (13) непосредственно обнаруживается, что в этом случае обращаться в нуль не может, так как квадратная скобка в (13) положительна (приложение III).

Функция будет иметь единственный корень, соответствующий устойчивому предельному циклу, охватывающему

нижний фазовый полуцилиндр, если Из условия вытекает, что следовательно, выражение (33) при убывании X может менять знак. Обращению в нуль величины при убывании X соответствует стягивание устойчивого предельного цикла к сепаратрисе седла, охватывающей нижний фазовый полуцилиндр (рис. 145).

3. Бифуркации, связанные с поведением функции ...

Перейдем теперь к рассмотрению предельных циклов, рождающихся на кривых центра. Из (15) непосредственно обнаруживается, что при функция обращаться в нуль не может, так как выражение в квадратных скобках в (15) положительно (приложения I и IV). По критерию Бендиксона при циклов нет поэтому при корней также не имеет. Проследим поведение при

Рис. 145

Из (15), (19) и (20) получаем

Из (34) и (35) следует, что при любых положительных кривой в интервале существует по крайней мере один экстремум. Нетрудно убедиться, что экстремум (максимум) может быть только один. Мы будем иметь, очевидно, если такое, что обращается в нуль выражение в квадратной скобке в (19), т. е. если

Нетрудно видеть, что при условии (36) будет

так как квадратная скобка знака не меняет (дискриминант отрицателен) и

Так как то экстремум кривой является максимумом.

Вид кривой при различных приведен на рис. 146. При кривая не пересекает ось к — циклов нет. При будет это соответствует возникновению предельного цикла, охватывающего состояние равновесия. При

кривая имеет единственную точку пересечения с осью х и в ней Существует единственный устойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия. При производная обращается в нуль. Это соответствует стягиванию (при убывании ) предельного цикла к состоянию равновесия. При циклов нет.

Бифуркационные кривые и разбиение пространства параметров (при фиксированном на области с различным распределением корней функций представлено на рис. 147.

Рис. 146

Рис. 147

Штриховкой покрыты области, соответствующие существованию двух предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. Узкой заштрихованной области внизу рисунка соответствует структура с двумя предельными циклами на верхнем фазовом полуцилиндре (с двумя корнями функции ).

Проведенное в рассматриваемой задаче методом Понтрягина полное качественное исследование справедливо, конечно, лишь для достаточно малых причем никакой оценки величины мы получить не можем.

Приложение I. Для имеем

Так как то но так как

Приложение II. Обозначим Так как то

Приложение III. Обозначим Так как

Приложение IV. Обозначим имеем

Функция принимает на концах интервала значения и 1 и имеет внутри интервала единственный максимум . Следовательно, .