§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости выше первой.

I. В § 2 было рассмотрено рождение предельного цикла из сложного фокуса первого порядка, т. е. из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, для которого первая ляпуновская величина

Здесь рассматривается случай, когда система (А) имеет сложный фокус кратности т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями такое, что первый, не равный нулю коэффициент функции последования есть

Как и всюду, наряду с данной системой

имеющей сложный фокус порядка будем рассматривать измененную систему

где и достаточно малые добавки ранга Имеет место следующая теорема.

Теорема 6. При любом всегда можно подобрать такие (сколь угодно малые добавки) и ранга чтобы при переходе от системы (А) к системе (А) из сложного фокуса рождалось к грубых предельных циклов.

Точнее: пусть сложный фокус порядка системы (А) (т. е. ), тогда существуют такие, что при любых -добавках ранга системы (А) в -окрест-ности О может существовать не более предельных циклов, и, какое бы мы ни взяли, при любых существуют -добавки ранга такие, при которых у системы (А) в -окрестности О существует к предельных циклов, и все эти предельные циклы целиком лежат в -окрестности О.

Всегда можно также подобрать такие сколь угодно малые добавки ранга чтобы из сложного фокуса О рождался негрубый цикл любой кратности к или предельных циклов соответственно кратностей таких, чтобы сумма их кратностей не превышала

Пусть теперь О есть центр системы (А). Тогда, какое бы целое к мы ни взяли, всегда можно указать систему (А), сколь угодно близкую до ранга к системе (А) и такую, что в данной сколь угодно малой окрестности О у этой системы существует к предельных циклов.

II. Предположим теперь, что система (А) имеет сложный предельный цикл кратности выше если рассмотреть функцию последования на дуге без контакта I, проведенной через какую-нибудь точку предельного цикла

— параметр на дуге I), то мы будем иметь

решение, соответствующее предельному циклу период на и первый, не равный нулю коэффициент функции последования —

Имеет место следующая теорема (аналогичная теореме 6).

Теорема 7. Всегда можно указать сколь угодно малые добавки и ранга такие, чтобы при переходе от системы (А) к системе (А) от замкнутой траектории системы (А) рождалось любое число к грубых циклов или предельных циклов кратностей таких, что

Точнее: если сложный предельный цикл кратности системы (А), то существуют такие, что при любых -добавках ранга в -окрестности существует не более предельных циклов, и, какое бы мы ни взяли, при любом можно указать и такие -добавки ранга р(х, у) и , чтобы у соответствующей системы (А) в -окрестности существовало k. грубых предельных циклов, и все эти предельные циклы лежали в -окрестности или предельных циклов кратностей причем Рассмотрим случай, когда сепаратриса седла образует петлю, и при этом в седле

В этом случае возможен как случай, когда петля устойчива, так и случай, когда петля неустойчива, а также случай, когда все траектории, проходящие через близкие к петле точки, заивнуты.

Можно показать, что в этом случае заведомо существуют такие сколь угодно малые до ранга 3 (или до ранга добавки, что у соответствующей системы (А) существует не менее двух предельных циклов в сколь угодно малой окрестности петли (см. [84]).