ГЛАВА 4. КАЧЕСТВЕННАЯ СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТЕЙ НЕКОТОРЫХ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

§ 1. Направления, в которых траектории стремятся к сложному состоянию равновесия.

При исследовании сложных состояний равновесия иногда бывает весьма существенно знание направлений, в которых траектории могут стремиться к этому состоянию равновесия.

Рассмотрим динамическую систему

для которой начало координат является сложным состоянием равновесия, так что

Предположим, что разложения правых частей в ряд по степеням х, у в окрестности точки имеют вид

где и однородные многочлены, состоящие из всех членов порядка соответствующих разложений, а функции ряды, состоящие из членов более высоких порядков. При этом мы считаем, что многочлены и одновременно не равны тождественно нулю (в противном случае мы бы взяли Рассмотрим выражение

а также выражение

которое мы получим из предыдущего, если поделим его на и введем обозначение

Мы будем также рассматривать выражение

Имеет место

Теорема 1. Всякая полутраектория системы

не равны тождественно нулю), стремящаяся к состоянию равновесия либо является спиралью, стремящейся к О при либо стремится к О в определенном направлении 0. При этом:

I. Если хоть одна из траекторий системы является спиралью, стремящейся к О при (или ), то все траектории, проходящие через точки некоторой окрестности состояния равновесия О, являются такими же спиралями (т. е. точка есть устойчивый или неустойчивый «фокус высшей сложности»).

II. Если выражение (2) не обращается тождественно в нуль, то наклоны к, с которыми траектории стремятся к состоянию равновесия О, удовлетворяют уравнению

или, иначе, направления 0, с которыми траектории стремятся к О, удовлетворяют уравнению

III. Если

и, следовательно,

где - некоторый не равный нулю тождественно однородный многочлен степени то, какое бы направление 0, не удовлетворяющее уравнению

мы ни взяли, существует в точности одна полутраектория, стремящаяся к О в направлении 0. Для особого же направления 0, удовлетворяющего (5), может оказаться, что не существует ни одной полутраектории, стремящейся к О в этом направлении 0, либо есть конечное число таких траекторий, либо, наконец, таких траекторий может существовать бесчисленное множество.

Замечание. Если существует траектории, стремящаяся к состоянию равновесия О с определенным наклоном к, то этот

наклон, согласно сформулированной теореме 1, является действительным корнем уравнения Однако если это уравнение имеет действительные корни, то это еще не означает, что существуют траектории, стремящиеся к О с этим наклоном: возможны случаи, когда при этом все траектории являются спиралями или замкнутыми траекториями.