§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина.

Как неоднократно указывалось при качественном исследовании, вопрос об установлении существования (или отсутствия) предельных циклов является одним из наиболее трудных вопросов; для решения его отсутствуют регулярные методы.

Поэтому любой метод, который позволяет (хотя бы для систем специального типа) устанавливать наличие предельных циклов, представляет большую ценность.

В настоящем параграфе мы изложим классические методы нахождения предельных циклов у динамических систем, близких к консервативным.

I. Системы, близкие к линейной консервативной. Рассмотрим систему

которая при обращается в линейную консервативную систему

траекториями этой системы являются окружности

Функции мы будем предполагать аналитическими функциями всех входящих в них переменных и, кроме того, такими, что

(Если бы это условие не было выполнено, то, как нетрудно показать, можно заменой переменных х и у прийти к случаю, когда оно выполняется.) Системы вида часто встречаются в приложениях. Так, например, если на фазовой плоскости рассматривать уравнение

близкое при малых к уравнению гармонического осциллятора

то мы придем к системе

имеющей указанный вид.

В системе (А) направление обхода траекторий по совпадает с положительным направлением обхода. Если это не так (как в системе то в дальнейшем нужно внести очевидные изменения.

Положим рассмотрим функцию

После некоторых элементарных преобразований мы получим также

Тогда имеет место

Теорема 1. Если для некоторого значения выполняются условия

то существуют числа такие, что:

а) для любого система имеет в -окрестности кривой с один и только один предельный цикл,

причем при он стягивается к окружности (являющейся траекторией системы

б) этот предельный цикл является грубым предельным циклом, устойчивым, когда

и неустойчивым, когда

Так как при предельный цикл системы стремится к кривой то естественно говорить, что этот предельный цикл системы «рождается» из кривой

Теорема 1 имеет локальный характер в том смысле, что в ней идет речь о возникновении предельного цикла в окрестности одной траектории системы Следующая теорема, опирающаяся на предыдущую теорему, имеет уже более общий характер.

Теорема 2. Пусть некоторые положительные числа

Если уравнение

имеет в точности решений причем каждое из этих решений удовлетворяет условию

то при достаточно малом система имеет в кольце

в точности предельных циклов. Каждый из этих предельных циклов стремится при соответственно к кривой

II. Системы, близкие к нелинейной гамильтоновой системе. Метод Понтрягина. Рассмотрим систему вида

При мы получаем гамильтонову систему

интегралом которой является

Мы будем предполагать, что при рассматриваемых нами значениях кривые являются замкнутыми кривыми.

Пусть - решение системы , соответствующее некоторой кривой , где С — одно из рассматриваемых значений. Подставив в и решение рассмотрим интетрал (этот интеграл, так же как и следующий, находится из рассмотрения функции последования в окрестности кривой :

Функцию будем в дальнейшем называть функцией Понтрягина. Рассмотрим также следующий интеграл:

Рассмотрим производную Можно показать, что Имеет место следующая теорема 3 (теорему 1 можно рассматривать как частный случай теоремы 3).

Теорема 3. Пусть замкнутая траектория гамилътоновой системы

уравнение которой —

— соответствующее ей решение, — период функций

Пусть

— система, близкая к гамилътоновой малый параметр). Тогда, если выполняются условия

то существуют числа такие, что:

а) для любого система имеет в -окрестности кривой предельный цикл причем стягивается к при

б) этот предельный цикл является грубым и притом устойчивым, если и неустойчивым, если

Замечание. Интеграл может быть, очевидно, записан как криволинейный интеграл по кривой . Поэтому в том случае, когда системы и определены во всей области внутри кривой интеграл может быть также представлен в виде

где область, заключенная внутри кривой

Отметим, что при использовании метода малого параметра мы можем установить только существование таких значений при которых рассматриваемая система имеет предельный цикл. Однако при этом не дается никаких оценок на значения при которых это имеет место.