§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации характеристики.

1. Рассматривается система на цилиндре

при аппроксимации кусочно-постоянной функцией

По физическому смыслу параметров: Система не определена при

Введем малый положительный параметр полагая и перейдем к системе

При система имеет интеграл

Будем искать предельные циклы, охватывающие цилиндр в верхнем фазовом полупространстве. Замкнутые кривые семейства при охватывают фазовый цилиндр. Вблизи интегральной кривой консервативной системы (при имеется предельный цикл системы (1), если будет корнем уравнения

Интегральная кривая проходящая через точку состоит из двух кусков

Вычисляя интеграл, получим

(выражение в квадратных скобках всегда положительно, так как если если

Из (2) и (3) находим

Производная обращается в нуль при условии

Функция имеет единственный минимум

где

и единственную точку перегиба, соответствующую обращению в нуль второй производной:

Функции и как легко проверить, состоят из двух монотонных ветвей (имеют единственный минимум) и получаются одна из другой сдвигом на по оси Их точка пересечения (очевидно, единственная) соответствует корню уравнения

График функции имеет вид, представленный на рис. 202.

Рис. 202

Из (5) очевидно, что, распоряжаясь величиной положительного параметра можно реализовать случаи, когда кривая целиком расположена выше оси когда она касается оси и когда пересекает ось

Касанию соответствует рождение полуустойчивого предельного цикла из сгущения траекторий. Бифуркационная кривая (поверхность) для этого случая дается уравнения

и имеет указанное выше значение.

Условие дает бифуркационную кривую, соответствующую возникновению петли сепаратрисы сшитого седла:

При убывании (или возрастании о) от значения, определяемого (7), величина становится положительной, и из петли сепаратрисы сшитого седла рождается неустойчивый предельный цикл.

Из выражений (6) и (7) видно, что при фиксированном обе бифуркационные кривые будут прямыми, проходящими через начало координат плоскости Между ними расположена область, для точек которой система (1) имеет два предельных цикла, охватывающих фазовый цилиндр. 2. Рассмотрим систему

отличающуюся от рассмотренной выше наличием члена — в первом уравнении

Сохраняя принятую аппроксимацию кусочно-постоянной функцией, принимающей значения ±1, и вводя малый параметр для функции корни которой соответствуют предельным циклам, охватывающим цилиндр, получим выражение

Здесь то же, что и в предыдущем примере, а дается выражением

Имеем также

Кривая для любых отличных от нуля, уходит в бесконечность при но будет лежать внутри полосы сколь угодно малой ширины на любом заданном интервале изменения если выбрать достаточно малым.

Проследим за изменением числа нулей функции на интервале при возрастании параметра от нуля.

Пусть Если выбрано так, что на интервале кривая лежит внутри полоски шириной то число нулей функции по сравнению с не может измениться ни за счет изменения знака в точке минимума, ни за счет изменения знака . С другой стороны, как бы ни было мало функции имеют при достаточно большом разные знаки Очевидно поэтому, что при возрастании от нуля из бесконечности появляется нуль функции Так как в нуле, очевидно, будет то при этом у системы (8) из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл.

Если выбраны так, что и мало, то система (8) будет иметь три предельных цикла (два устойчивых и один неустойчивый).