§ 2. Следящая система с люфтом.

Рассмотрим простейшую следящую систему с люфтом в контактном устройстве и в зубчатом зацеплении, описываемую безразмерным уравнением [152]

где координата сервомотора и —кусочно-постоянная (характеризующая безразмерную и сухое трение в системе). Общеизвестным приемом при исследовании точечных преобразований является представление и исследование точечного преобразования в параметрической форме, где в качестве параметра вводится время пробега изображающей точки по траекториям системы между точками сшивания.

Особенностью рассматриваемой задачи является возможность другого эффективного параметрического представления точечного преобразования с введением в качестве параметров некоторых отрезков в фазовом пространстве. Этот прием имеет значение, выходящее за рамки рассматриваемой задачи.

Разбиение плоскости на области, где сохраняет постоянное значение, производится в зависимости от двух

параметров характеризующих соответственно люфт в контактном устройстве и люфт в зацеплении.

Запишем уравнение (1) в виде системы

и будем рассматривать фазовые траектории на плоскости Разбиение фазовой плоскости на траектории будет симметрично относительно начала координат, если за начало отсчета принять середину максимального интервала длиной который сервомотор может пройти по инерции. На рис. 210 изображено разбиение плоскости на десять областей, где сохраняет постоянные значения, указанные на рисунке. Полосы шириной у о, примыкающие к оси х сверху или снизу, соответствуют выбиранию сервомотором люфта в зубчатом зацеплении, и для них соответственно или (сухим трением при свободном движении сервомотора пренебрегаем). Полосе шириной к, содержащей внутри ось у, соответствует выбирание сервомотором совместно со следящей осью люфта в контактном устройстве при движении по инерции. Здесь или характеризует твердое трение в системе. На других участках фазовой плоскости величина имеет значение где знаки выбираются в зависимости от знака скорости и знака включенной или 0, если люфт в зацеплении проходится по инерции. Величина максимальная скорость, до которой разгоняется сервомотор, выбирая люфт в зацеплении, — есть однозначная функция параметра и определяется уравнением

Рис. 210

Это уравнение получается, если в (2) положить и потребовать для решения системы (2) выполнения условий

Построим точечное преобразование в себя полупрямой примыкающей слева к отрезку покоя: Так как фазовое пространство симметрично относительно начала координат, то задача сводится к построению точечного отображения полупрямой в симметричную полупрямую примыкающую к отрезку покоя справа.

Рассмотрим траекторию в верхней полуплоскости, сшитую из четырех кусков, начинающуюся в точке и

заканчивающугося в точке «Сшивание» траекторий в точках разрыва правых частей системы совершается элементарно, если знак правой части второго из уравнений (2) не изменяется при переходе через линию сшивания. Так будет, если если слишком велико». Точки пересечения этой траектории с полосой ширины к будут Как оказывается, величины целесообразно рассматривать как параметры точечного преобразования.

Из уравнения (2), полагая для первого куска траектории и для второго и используя условия для концов кусков траекторий: получим

Полагая далее для третьего куска траектории и для четвертого и используя условия для концов кусков траекторий

получим

Уравнения (4) — (6) определяют требуемое точечное преобразование в параметрической форме с двумя параметрами и Разбиение фазового пространства на тректории определяется взаиморасположением кривых на совмещенных плоскостях Исследование взаиморасположения кривых проводится элементарно при использовании как параметров.

Из (5) и (6) находим

Откуда

Из (4) имеем

Сравнивая (7) и (8), непосредственно обнаруживаем, что для любого будет

и, следовательно, если существует точка пересечения кривых то она единственная и соответствует устойчивой, неподвижной точке преобразования.

Граничные значения кривых будут

соответственно при значениях параметров определяется как корень уравнения (5) при

Для значений близких к асимптота для будет Точка пересечения кривых будет поэтому существовать, если Граница области существования неподвижной точки преобразования и соответствующего ей устойчивого предельного цикла определяется условием

Уравнение (3) совместно с уравнением

нолученным из (5) при дает в параметрической форме уравнение поверхности (рис. 211), отделяющей в пространстве параметров область автоколебаний от области абсолютной устойчивости. Точкам ниже поверхности соответствует область автоколебаний. Точкам выше поверхности — устойчивость в большом (рис. 212, а). Точкам по поверхности — вырожденный двойной цикл, проходящий через концы отрезка покоя (рис. 212,б).

Рис. 211

Рис. 212

На рис. 212, в изображены два склеенных предельных цикла — устойчивый и неустойчивый (неустойчивый обозначен штриховой линией).

Если фазовые траектории подходят с обеих сторон к линиям сшивания и система (2) должна быть из физических соображений доопределена условием

требующим, чтобы движение продолжалось по линии стыков траекторий (скользящий режим). Уравнение (4) теряет смысл. Любая траектория, сшитая из четырех кусков в верхней полуплоскости, начинающаяся в точке и заканчивающаяся в точке содержит кусок прямой , принадлежащий линии сшивания. В уравнении (5) параметр принимает фиксированное значение . Уравнения (5) и (6) будут в параметрическом виде (с параметром связывать

Рис. 213

Уравнение (9) сохраняет смысл и для случая сколь угодно больших На рис. 213 изображены различные возможные типы разбиения фазовой плоскости для этого случая. В отличие от случая «малых здесь устойчивый предельный цикл будет вырожденным (на него переходят точки с континуума траекторий).