ГЛАВА 16. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИЕМОВ, ОПИРАЮЩИХСЯ НА ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ

§ 1. Квадратичное дифференциальное уравнение.

1. Оценки сверху числа предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра. Квадратичная система общего вида при наличии в начале координат фокуса или центра всегда может быть приведена к виду

Решение вопроса о числе предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия в системе (А), зависит от структуры коэффициентов функции последования в окрестности состояния равновесия и требует знания всех условий центра.

Полагая переходим в системе (А) к полярным координатам и ищем решение системы в виде ряда по степеням начального значения Отрезок прямой для всех достаточно малых будет отрезком без контакта для траекторий системы. Полагая в найденном решении получим на некотором достаточно малом отрезке функцию последования

Коэффициенты функции последования, как следует из их построения, есть целые функции параметров обращающиеся в однородные многочлены при Для систем (А) известны все случаи центра (см. [147, 68, 67, 14]), и они могут быть получены из условий обращения в нуль первых семи коэффициентов функции последования (трех последовательных ляпуновских величин):

Так как значения удовлетворяющие условиям должны обращать в нуль и функции при то можно представить в виде

Отметим, что в выражение для множитель входит в квадрате. Можно показать, что для любого содержит множитель Это позволяет ввести в выражение для третью ляпуновскую величину и представить функцию последования (1) в виде

где ряды по степеням с коэффициентами в виде целых функций параметров и такие, что

В достаточно малой окрестности начала координат положительные простые корни уравнения

с любой точностью аппроксимируют корни (2) при

Рис. 155А

Рассматривая (2) и (3), нетрудно увидеть, что в окрестности состояния равновесия (вблизи границы области устойчивости) в зависимости от знаков ляпуновских величии может быть не более трех предельных циклов [14, 69]. Особенности в поведении системы (А) вблизи тех точек границы области устойчивости, где обращаются в нуль первая и вторая ляпуновские величины, определяются знаком третьей ляпуновской величины В возможностях, которые здесь возникают, можно ориентироваться, рассматривая функцию последования (2) и уравнение (3).

На рис. для представлена окрестность точки пространства параметров, в которой выполняются условия Область устойчивости состояния равновесия в начале координат располагается снизу от плоскости Граница области устойчивости разбивается на куски, помеченные на рисунке цифрами 0, 1, 2, - соответственно числу предельных циклов в окрестности состояния равновесия при значениях

параметров на границе области устойчивости. Эти куски выделяются условиями:

Функция в окрестности значения имеет асимптотическое представление

В кусках и 2 состояние равновесия неустойчиво, на куске 1 устойчиво.

При изменении от значения может появиться из состояния равновесия еще один предельный цикл: при возрастании от значения взятого на куске 1, появляется устойчивый предельный цикл, при убывании от значения , взятого на кусках или неустойчивый.

Рис. 155Б

Возможные качественные структуры в окрестности состояния равновесия для случая представлены на рис.

На рис. представлено для разбиение границы области устойчивости в окрестности точки Граница области устойчивости разбивается на куски 0, 1, 2 соответственно числу предельных циклов в окрестности состояния равновесия, выделяемых условиями:

Функция в окрестности значения имеет асимптотическое представление (4). На кусках и 2 состояние равновесия устойчиво, на куске 1 неустойчиво.

При убывании от значения взятого на куске 1, появляется из состояния равновесия неустойчивый предельный цикл, при возрастании от значения взятого на кусках или 2, появляется цикл устойчивый. Возможные качественные структуры в окрестности состояния равновесия для случая представлены на рис.

2. Квадратичные системы с четырьмя предельными циклами. Примеры квадратичных систем с четырьмя предельными циклами были даны в работах [62, 66].

Рис. 155В

Рис. 155Г

Топология этих систем одинакова: седло на экваторе сферы Пуанкаре и два простых фокуса на плоскости с распределением предельных циклов вокруг фокусов

3 и 1. В подпространстве параметров системы, имеющей особую точку типа центр, могут быть выделены области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами как с вышеописанной, так и с другой топологической структурой, содержащей два седла и узел на экваторе. Сепаратрисы одного из седел идут к предельным циклам с распределением вокруг фокусов, сепаратриса другого седла идет к узлу на экваторе.

Рассмотрим систему

Пусть тогда система (5) в определяемом условиями

имеет топологическую структуру с двумя состояниями равновесия на плоскости (типа центр) в точках и одним седлом на экваторе сферы Пуанкаре (рис. сепаратрисой которого является интегральная прямая отделяющая части полуплоскости (полусферы), заполненные замкнутыми кривыми.

Рис. 156А

В D, определяемом условиями

топологическая структура отличается от структуры в состояниями равновесия на экваторе. В на экваторе два седла и узел (рис. 156 А, б). Части полусферы, заполненные замкнутыми кривыми, отделяются в этом случае сепаратрисами, идущими из

седла в седло:

Будем рассматривать систему (5) при условиях А

(в точке первая ляпуновская величина равна нулю).

Лемма 1. Существует множество в каждой точке которого сепаратриса (6) является кривой без контакта для траекторий системы (5) при условиях А.

Доказательство. Производная от по взятая в силу уравнений (5) при условиях А, обращается в нуль на сепаратрисах (6) лишь в точках их пересечения с кривой

Гипербола (6) будет кривой без контакта, если прямая ее не пересекает (на контакт ложный).

Рис. 156Б

Это выполняется при условиях где координаты вершин гиперболы. Одно из этих неравенств всегда выполняется, другое сводится к

Множество выделяется условиями (7) и (рис. 156В).

Лемма 2. При условиях А существует положительная вели чина такая, что при система (5) имеет хотя бы один предельный цикл вокруг точки ( а при

дополнительном условии еще хотя бы один цикл вокруг точки при наличии в обоих случаях на экваторе сферы Пуанкаре двух седел и узла.

Доказательство вытекает из леммы 1 и теоремы Бенедиксона о существовании замкнутых траекторий, если учесть, что можно так выбирать что в область, содержащую простой неустойчивый фокус в точке ( траектории системы только входят, а из области, содержащей устойчивый фокус второго порядка в точке при только выходят (рис. 156Б, а)).

При цикл, существующий вокруг точки стягивается к фокусу и состояние равновесия меняет устойчивость (рис.

Поведение сепаратрис, попавших в области, ограниченные дугами и ветвями гиперболы (6), определяется однозначно. Предельные циклы, окружающие фокусы, являются для этих сепаратрис соответственно и -предельными множествами. Для сепаратрис, не попавших в указанные области, существует несколько логических возможностей: они могут стремиться к узлу или седлу на экваторе, к фокусу или предельному циклу на плоскости. Однако при в силу близости к системе с особой точкой типа центр их предельным множеством может быть только узел на экваторе сферы Пуанкаре. При сохраняется топологическая структура, имеющая место при сколь угодно малых а.

Рис. 156В

Теорема 1. Если для системы (5) выполняются условия леммы 2, то существуют такие малые добавки к коэффициентам системы, разрушающие условия А, при которых измененная система имеет четыре предельных цикла при наличии на экваторе сферы Пуанкаре двух седел и узла.

Доказательство. Так как в точке при условиях А у системы (5) будет сложный фокус третьего порядка при то можно найти такие малые добавки, разрушающие условия А, что в малой окрестности точки будет

существовать еще 3 предельных цикла. В итоге около точек и будет существовать предельных циклов при наличии на экваторе сферы Пуанкаре двух седел и узла.

При к гипербола (6) вырождается в прямую без контакта Для система (5) также может иметь четыре предельных цикла с распределением предельных циклов вокруг фокусов

Рис. 156Г

При этом топологическая структура рисунка а переходит в структуру, изображенную на рис. 156Г, а, структура рис. 156Б, б - в структуру рис. 156Г, б.

Теорема 2. Если для системы (5) выполняются условия то при существуют такие малые добавки, разрушающие условия А, что измененная система имеет четыре предельных цикла (три вокруг начала координат) при наличии на экваторе сферы Пуанкаре только одной особой точки типа «седло».

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. На рис. 156В отмечены штриховкой области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами.