§ 3. Простейшие свойства решений системы (А).

Сформулируем ряд свойств, которыми решение системы (А) обладает в силу того, что в правые части системы независимое переменное явно не входит.

I. Если есть решение системы (А), то и

где с — любая постоянная, тоже есть решение системы (А). При этом, если первое решение определено на интервале то второе решение определено на интервале

II. Решения

можно рассматривать как решения с одинаковыми начальными значениями и различными начальными значениями переменного Обратно, два решения, у которых начальные значения переменных одинаковы, а начальные значения различны, могут быть получены одно из другого заменой на с при надлежащем выборе постоянной с. Это является очевидным следствием свойства I и единственности решения, удовлетворяющего данным начальным значениям.

III. Решение, при принимающее начальные значения может быть записано в виде

т. е. в решение системы всегда входят только в комбинации По самому смыслу функций (1) очевидно

Если (а также рассматриваются как произвольные параметры, то функции (1) называются общим решением системы (А). При фиксированных функции (1) называются частным решением пли просто решением (так что «решение» и «частное решение» имеют один и тот же смысл).

Теорема 3. В случае, когда правые части системы аналитические функции, функции (1) являются аналитическими функциями всех входящих в них переменных