§ 4. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов.

1. Критерий Бендиксона. Если в некоторой односвязной области выражение не меняет знака и не равно нулю тождественно, то в этой области не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий.

2. Критерий Дюлака. Пусть В(х, у)—некоторая однозначная и дифференцируемая функция, и пусть

не меняет знака и не равно нулю тождественно в области ограниченной произвольными дугами (не траекториями и не дугами . Тогда:

1) Если односвязная область, то в области не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий (нет предельных циклов).

2) Если двусвязная кольцевая область, то в области не может быть более одного замкнутого контура, составленного из траекторий одного предельного цикла).

Задача будет решена, если удастся подобрать таким образом, чтобы кривая не имела действительных ветвей в тех областях плоскости в которых можно ожидать наличия предельных циклов. Для разыскания функции не существует, однако, регулярных приемов. Пример 1.

Если то не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий. Пример 2 [31].

В качестве множителя возьмем функцию Тогда

не меняет знака в плоскости и не обращается тождественно в нуль, если Поэтому при любых значениях параметров (но ) не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий. Если то есть интегрирующий множитель. На плоскости существует область, целиком заполненная замкнутыми фазовыми траекториями, охватывающими состояние равновесия типа центр. Пример 3 [37].

Возьмем в качестве множителя В функцию

где

Тогда

и, следовательно, может обратиться в нуль только вдоль интегральных кривых Поэтому при

в конечной части плоскости не существует замкнутых контуров,

составленных из траекторий. Заметим, что если то имеется целая область плоскости целиком заполненная замкнутыми траекториями. Система допускает в этом случае интеграл

Пример 4.

В качестве множителя В берем функцию Тогда Если то не может быть предельных циклов, расположенных в полуплоскостях или (ось является траекторией). В случае существует область, заполненная замкнутыми траекториями, и служит интегрирующим множителем.