ЧАСТЬ IV. КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ

ГЛАВА 17 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ

Введение. В последующих главах настоящей книги рассматриваются так называемые «сшитые» и «склеенные» динамические системы.

Так называются системы, область определения которых (могущая совпадать со всей плоскостью (х, у)) разделяется на подобласти в которых определены различные аналитические системы. Траектории этих частичных систем сшиваются тем или другим образом (в зависимости от задачи) на границах

К рассмотрению таких сшитых динамических систем естественно приводят многие задачи из приложений, например, осциллятор с сухим трением, системы с «ударами» (простейшие модели часов), простейшие задачи регулирования (двухпозиционный авторулевой) и др. (см. [2, 3]).

Такие системы имеют некоторые типичные черты, именно:

1. «Сшитость» системы (а также «условия сшивания») непосредственно вытекает из физического смысла рассматриваемой задачи.

2. Система является кусочно-линейной, т. е. те частичные системы, из которых она склеивается, являются линейными.

3. На линии склейки может быть определено точечное отображение (функция последования), которое позволяет определить характер рассматриваемой системы.

В частности, в [3] приведено большое число примеров таких систем и дано рассмотрение их методом точечных отображений. При этом в большинстве из этих задач точечное отображение рассматривается записанным в параметрической форме, т. е. не в виде а в виде где параметр. Такая параметрическая форма в некоторых случаях существенно упрощает рассмотрение. Во многих случаях полученное упрощение, приводящее к рассмотрению сшитой системы, позволяет рассматривать значительно более сложные фазовые пространства, чем плоскость. Однако в настоящей книге такие задачи не рассматриваются.

В случае, когда сшитая система хорошо отображает черты реальной системы, рассмотрение ее методом точечных отображений позволяет, вообще говоря, не только устанавливать

качественную структуру, но и получить также некоторые количественные характеристики.

Следует, однако, заметить, что полное рассмотрение кусочно-сшитых систем методом точечных преобразований, как правило, в основном возможно лишь в случае, когда частные системы, из которых система склеена, являются линейными (т. е. именно в случае, когда система кусочно-линейная). Между тем далеко не всегда, исходя из условий реальной задачи, естественно рассматривать кусочно-линейную систему; для некоторых задач естественно рассматривать системы, склеенные из нелинейных и неинтегрируемых динамических систем. В этом случае исследование системы методом точечных преобразований не может быть проведено.

Кроме того, следует принять во внимание также следующее: целесообразность введения и рассмотрения кусочно-склеенных систем может быть вызвана не только — если так можно выразиться — физическими причинами, т. е. тем, что физические свойства рассматриваемой системы хорошо описываются склеенными системами (например, как в указанных выше простейших примерах), но также и математическими причинами. Именно, иногда для упрощения математического исследования некоторые функции, характеризующие рассматриваемую реальную систему, заменяются кусочно-сшитыми функциями (до написания системы дифференциальных уравнений или после ее написания).

Рис. 184

Так, например, в некоторых случаях функция (см. рис. 184, а) заменяется либо непрерывной кусочно-склеенной функцией, представленной на рис. 184, б, либо даже разрывной функцией, представленной на рис. 184, в.

Теоретически всякая система может быть приближенно представлена как склеенная из достаточно большого числа линейных систем, так как в достаточно малой области всякая система может быть приближенно представлена как линейная. Однако использование этого весьма общего утверждения при рассмотрении конкретных задач, вообще говоря, не представляется возможным из-за его полной неэффективности.

Если при рассмотрении конкретной задачи делается такая замена аналитических функций кусочно-сшитыми (или даже

разрывными), то, очевидно, сразу же встает вопрос, будет ли полученная кусочно-сшитая система (введенная из математических соображений) правильно отражать те черты реальной системы, которые должны описываться не склеенной аналитической системой.

Этот вопрос подлежит детальному обсуждению, и ему посвящена гл. 20 настоящей книги.

Так или иначе, в силу ли физических или математических причин возникает целесообразность рассмотрения кусочно-сшитых, но не обязательно кусочно-линейных (и даже не обязательно кусочно-интегрируемых) динамических систем и их качественного исследования. Но в случае, когда сшитая система не является кусочно-линейной, полное сведение исследования ее качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным. Тогда естественно попытаться распространить теорию бифуркаций и методы качественного исследования, на нее опирающиеся, на кусочно-сшитые системы, конечно, с той спецификой, которая при этом возникает. Это тем более естественно, что в случае кусочно-сшитых систем, так же как и в случае аналитических систем, фактами теории бифуркаций объясняются некоторые черты поведения реальных систем (мягкое и жесткое возникновение колебаний, срыв колебаний и др.).

В настоящей книге при качественном рассмотрении сшитых систем используется не только построение функции последования (точечного отображения) и его исследование, но также и приемы, опирающиеся на перенесенную на сшитые системы теорию бифуркаций.