§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях относительно правых частей динамической системы.

Мы рассматривали выше динамические системы, правые части которых — аналитические функции. Однако понятие «грубости динамической системы» может быть введено совершенно так же и в случае, когда относительно правых частей рассматриваемых динамических систем сделаны более общие предположения.

Наиболее общим — возможным по самому смыслу понятия грубости — является требование наличия у функций и

лишь частных производных первого порядка (как и выше, функции предполагаются определенными в ограниченной замкнутой области При этом вывод необходимых условий фактически не изменяется и не изменяется также доказательство теорем 13 и 14.

С другой стороны, можно определить грубость динамической системы, предполагая правые частп рассматриваемых динамических систем аналитическими (или имеющими непрерывные частные производные до порядка при другом определении близости динамической системы. Именно, можно считать близкими динамические системы (А) и которых близки не только сами функции и их производные первого порядка, но и все соответствующие производные до порядка Это, очевидно, означает, что мы рассматриваем пространство, точками которого являются динамические системы с аналитическими правыми частями, в котором расстоянием между двумя точками одной, соответствующей системе (А), другой системе (А), является наибольшая из величин

В дальнейшем мы будем говорить, что система -близка -топологии к системе (А), если выполняются неравенства

Вводя добавки

неравенства (1) можем записать в виде

и в этом случае будем называть добавки и -добавками ранга

Пространство динамических систем с введенным здесь определением расстояния между точками (динамическими системами) будем обозначать через

Две динамические системы, близкие в смысле определения, данного в § 1, очевидно, могут не быть близкими при в смысле данного здесь определения.

Нетрудно убедиться, что и при данном здесь определении близости динамических систем при необходимые и достаточные условия грубости те же, что и сформулированные в § 6, и, так же как и в случае пространства Яд, грубые динамические системы заполняют области в соответствующем пространстве. Справедливы также теоремы 13 и 14.

До сих пор мы рассматривали при том или другом определении расстояния между динамическими системами пространство всевозможных динамических систем. Однако в ряде вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, именно грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, т. е. по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем или Таким понятием относительной грубости мы воспользуемся при выделении простейших негрубых систем (см. следующую главу), так называемых систем первой степени негрубости, а также при классификации негрубых систем по степени сложности, или степени негрубости. Отметим, что с точки зрения такой классификации негрубых систем консервативные системы (см. гл. 7) являются системами бесконечной степени негрубости, другими словами, системами степени негрубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости. Таким образом, в пространстве (или ) консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвычайно «редкими» системами.

Однако мы можем, рассматривая класс консервативных (или гамильтоновых) систем, ввести понятие грубости системы относительно этого класса. Таким понятием (без термина «грубость») фактически пользовался Пуанкаре.

Отметим еще также, что введение понятия грубости естественно не только при рассмотрении дифференциальных уравнений. Так, например, рассматривая вопрос о топологии аналитической кривой

или аналитического многообразия

естественно ввести понятие грубости кривой или многообразия.

Рассматривая общие точки двух кривых

естественно ввести понятие грубости расположения двух кривых и т. д.

Можно было бы указать еще целый ряд математических объектов другого характера, при рассмотрении которых введение понятий грубости, а также степеней негрубости было бы весьма плодотворным.