§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-постоянной для sin f, и пилообразной для cos f функциями.

Полагаем

(см. рис. 234 и рис. 229 нижний).

Рис. 234

Заметим, что это — интегрируемая аппроксимация. Правая часть системы (2) при аппроксимациях (5) терпит разрыв на линиях сшивания. Кроме прямой роль изоклины горизонтальных наклонов выполняет ломаная, состоящая из кусков интегральных прямых и отрезков между ними на которых производная меняет знак. При на полосе будет только два состояния равновесия: -седло и -неустойчивый узел. При изоклины смыкаются и возникает сшитая сложная особая точка качественно эквивалентная вырожденному седло-узлу без узловой области (рис. 235). При сложная особая точка распадается на две: сшитый фокус и седло. При

фокус превращается в устойчивый узел Границей области существования двух и четырех точек будет прямая На прямой сливаются точки

1. Рождение предельного цикла из сшитого фокуса. Сшитый фокус будет устойчив, если будут иметь разные знаки величины

Здесь общие интегралы системы (см. гл. 17, § 4, п. 2).

Рис. 235

Сшитый фокус меняет устойчивость на кривой

начинающейся в точке и заканчивающейся на граничной прямой в точке

При переходе через кривую в направлении возрастающих сшитый фокус из неустойчивого становится устойчивым, и из него появляется неустойчивый предельный цикл (величина аналог первой ляпуновской величины для точек бифуркационной прямой положительна).

2. Разбиение пространства параметров на области с различной качественной структурой фазового пространства. Вдоль всей граничной кривой характер сложной особой точки и структура разбиения фазового пространства на траектории сохраняются. Бесконечность неустойчива; -сепаратриса седла не может идти в особую точку и накручивается на устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр. Качественная картина разбиения на траектории на всей граничной кривой эквивалентна изображенной на рис. 168, II—III.

При -сепаратриса седла входящая в особую точку по направлению попадает при в область отрицательных наклонов и идет в бесконечность. Предельных циклов нет. Качественная картина эквивалентна изображенной на рис. 169, 8. Обращение в нуль седловой величины

происходит на прямой смыкающейся с линией, на которой фокус меняет устойчивость, в точке пересечения с граничной прямой Седловая величина отрицательна выше прямой

Отправляясь от известных структур разбиения фазового пространства на граничной прямой и в области опять легко проследить все бифуркации и смену качественных структур при монотонном повороте векторного поля с возрастанием параметра

Последовательность качественных структур, переходящих одна в другую при возрастании эквивалентна представленным на рис. 169 последовательностям грубых структур 2—8 (если или структур 2, 5, 6,8 (если Негрубые структуры, разделяющие перечисленные грубые, также качественно эквивалентны негрубым, представленным на рис. 169, за исключением структур 2—3 и 2—5 (последней нет на рис. 169), которые должны быть заменены структурой II—III рис. 168 (вместо седло-узла с неустойчивой или устойчивой узловой областью будет вырожденный седло-узел).

Рис. 236

Качественная структура разбиения пространства параметров отличается от структуры разбиения для исходной системы (2) лишь тем, что бифуркационные кривые 5—6 и 6—8 не пересекаются с граничной кривой 2— 5 и уходят в бесконечность

Малым изменением аппроксимации (5) можно получить картину разбиения пространства параметров, качественно совпадающую с разбиением для исходной системы (2). Рассмотрим систему (2) при аппроксимациях

(см. рис. 237 и 229 нижний), отличающихся от (5) аппроксимацией на интервале При малом аппроксимация (6) близка к (5). Точки будут иметь такой же характер, как и при аппроксимации (5). На прямой сливаются точки и . Граничной кривой, на которой сливаются точки будет ломаная, составленная из двух звеньев: отрезка прямой для

и полупрямой для Вдоль граничной кривой характер сшитой сложной особой точки и качественные структуры разбиения на траектории будут изменяться.

Если невелико, то сложная особая точка на интервале сшивается из седла и фокуса или узла Для сложная особая точка будет седло-узлом. Для удовлетворяющих условию граничная точка разделяющая седло-узлы и седло-фокусы, лежит в интервале

Рис. 237

Если следовательно, точка седло-фокус, то -сепаратриса седла не может идти в особую точку и должна накручиваться на устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр (бесконечность неустойчива). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III. Для больших -сепаратриса седло-узла имеет всюду отрицательный наклон. Предельных циклов нет. Качественная картина эквивалентна представленной на рис. При возрастании параметра вдоль граничной кривой осуществляются все релятивно-грубые и бифуркационные структуры, представленные на рис. 168 от II—III до

3. Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Фокус всегда устойчив, если он расположен слева от оси и может менять устойчивость, если расположен справа

Если

Фокус меняет устойчивость на кривой, начинающейся в точке и заканчивается на граничной кривой в точке, где При переходе через кривую в направлении возрастающих фокус из неустойчивого становится устойчивым.

Обращение в нуль седловой величины

происходит на прямой смыкающейся с линией, на которой фокус меняет устойчивость, в точке пересечения с граничной кривой

Отправляясь от известных структур разбиения фазового пространства на граничной кривой (структуры рис. 168 от II—III, до V) и в области (структура рис. 169,8), можно проследить все бифуркации и смены структур при монотонном повороте поля с возрастанием

Качественная структура разбиения пространства параметров (рис. 238) не отличается от структуры разбиения исходной системы (2) (см. рис. 167).

Структуры, соответствующие внутренним точкам областей разбиения пространства параметров, эквивалентны структурам в областях разбиения для системы (2).

Для системы с аппроксимацией (6) возникает одна особая бифуркация. Точкам кривой на полосе соответствует особая точка типа центр в точке

Рис. 238

Рис. 239

При возрастании и перемене знака величины неустойчивый предельный цикл появляется из границы области, заполненной замкнутыми кривыми. Точкам кривой соответствует разбиение в окрестности состояний равновесия представленное на рис. 239.

Замечание. Область замкнутых кривых в окрестности точки не может иметь своей границей сшитую петлю сепаратрисы седла так как седловая величина в седле отлична от нуля. В возможности осуществления структуры разбиения, представленной на рис. 239, проявляется неаналитичность правых частей системы при аппроксимации (6).

Если не мало, то при аппроксимациях (6) изменением параметра можно изменить поведение величин таким

образом, что исчезнут условия, делавшие неизбежным появление Областей существования двух предельных циклов, охватывающих цилиндр. При возрастании до значения в пространстве исчезает область, в которой возникновение петли сепаратрисы происходит при положительном значении седловой величины

При кривая будет состоять из куска гиперболы

между прямой и точкой изломе граничной кривой. Кривая будет состоять из куска этой же гиперболы в интервале (седло в интервале ) и примыкающей к нему полупрямой (седло — в интервале ).

При граничная кривая переходит в ломаную кривая уходит за границу рассматриваемой области а кривая превращается в ветвь гиперболы следовательно, совпадает с кривой полученной при аппроксимациях (3). Разбиение пространства параметров будет качественно эквивалентно разбиению при аппроксимациях (3) (см. рис. 231).