ГЛАВА 5. ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

§ 1. Функция последования.

В настоящем параграфе рассматривается функция последования, которая уже использовалась при исследовании состояния равновесия, у которого . В настоящей главе функция последования используется для исследования окрестности замкнутой траектории.

Пусть I — дуга без контакта, и пусть на этой дуге введен параметр так, что каждой точке I соответствует взаимно однозначно одно значение некоторые фиксированные значения.

Пусть

— параметрические уравнения дуги I, которые даются с помощью введенного параметра . В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что в рассматриваемом нами случае, когда правые части системы аналитические функции, функции также аналитические функции 1).

Предположим, что траектория пересекающая при дугу I в точке соответствующей некоторому значению пересекает дугу I еще раз при некотором значении Пусть первое значение, большее при котором пересекает дугу соответствующая точка и значение параметра в этой точке (рис. 59).

Мы скажем, что точка дуги I имеет последующую Если обе точки отличны от концов дуги I, то на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий и предложения II § 1. гл. 2 у всех точек дуги I, близких к будут существовать, последующие (в частности, это всегда имеет место, когда траектория, проходящая через точку замкнута).

Пусть координаты различных точек дуги I и их последующих на отрезке Ясно, что является функцией от Эта функция

называется функцией последования и выражает собой закон некоторого точечного преобразования дуги I (или ее части), устанавливающий однозначное соответствие между точками этой дуги (или ее части) и их последующими (на той же дуге.

Геометрически ясно, что функцию последования мы имеем тогда, когда дугу без контакта пересекают траектории, имеющие характер спиралей или замкнутые (см. рис. 59). При этом очевидно, что если некоторому значению соответствует замкнутая траектория, то т. е. точка, соответствующая и ее последующая совпадают (а значит, совпадают и все дальнейшие последующие). Очевидно и обратное: если то траектория, проходящая через точку, соответствующую значению замкнута. Точка, для которой называется неподвижной или инвариантной, точкой точечного отображения.

Рис. 59

Для функции последования справедливо следующее:

1. Функция последования для аналитической системы (А) при сделанном предположении относительно аналитичности дуги без контакта (функции в параметрических уравнениях дуги — аналитические функции) является аналитической функцией. (Это предложение является следствием теоремы 3 гл. 1.)

2. Производная от функции последования всегда положительна (т. е. функция последования — всегда возрастающая функция). Это предложение фактически является элементарным следствием того факта, что траектории не пересекаются.

Введение функции последования позволяет для формулировки вопросов устойчивости и неустойчивости замкнутой траектории использовать вопросы устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения

Пусть рассматриваемой замкнутой траектории соответствует неподвижная точка точечного отображения Рассмотрим последовательные точки пересечения с дугой I какой-нибудь траектории отличной от и проходящей через достаточно близкую точку.

Пусть траектория пересекает отрезок в точках, соответствующих значениям

При

Если траектория стремится к при то последовательность (1) стремится к наоборот, если последовательность (1) стремится к то траектория стремится к Неподвижная точка точечного отображения называется устойчивой, если существует такая ее окрестность, что все последовательности вида (1) с начальными точками в этой окрестности стремятся к этой точке, и неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется хотя бы одна такая точка, что соответствующая последовательность не сходится к этой точке. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка отображения, а неустойчивому или полуустойчивому неустойчивая точка.