§ 3. Возможный характер простых состояний равновесия.

Грубые состояния равновесия. Сохраняем обозначения

Характеристическое уравнение (4), очевидно, может быть записано в виде Возможны следующие случаи.

I. , корни характеристического уравнения действительны и одинаковых знаков. В этом случае все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность состояния равновесия О, стремятся к О:

Состояние равновесия называется устойчивым узлом, когда и неустойчивым узлом, когда

II. , корни характеристического уравнения действительны и различных знаков: Состояние равновесия является седлом.

III. , корни характеристического уравнения комплексные сопряженные: , причем действительные части этих корней отличны от нуля.

В этом случае (так же, как и в случае I) все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность состояния равновесия О, стремятся к состоянию равновесия О:

Состояние равновесия называется фокусом и при этом устойчивым, когда и неустойчивым, когда