§ 2. Динамические системы в n-мерном евклидовом пространстве.

Существенные отличия от систем на плоскости и от систем на поверхностях обнаруживаются уже при . В трехмерной

системе

наряду с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями возможны траектории всех тех типов, что и на двумерных поверхностях и, в частности, незамкнутые устойчивые по Пуассону (незамкнутые самопредельные).

Однако установление всех возможных типов траекторий, аналогичное теории Пуанкаре — Бендиксона для случая значительно сложнее. У динамической системы на плоскости, если траектория имеет незамкнутую предельную траекторию то среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений возможна бесконечная цепочка траекторий, обладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория является предельной для Пример такой динамической системы с неаналитической правой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым.

Обратимся к вопросу о перенесении понятий, введенных для двумерных систем, на трехмерные и большего числа измерений. Рассмотрим, какой характер имеют простейшие «грубые» состояния равновесия и предельные циклы трехмерной системы. Возможны следующие случаи грубых состояний равновесия:

а) узел и фокус, устойчивый или неустойчивый, когда все траектории, достаточно близкие к состоянию равновесия, стремятся к нему при или

б) седло и седло-фокус у седла и седло-фокуса есть двумерная сепаратрисная поверхность и две изолированные сепаратрисы (по разные стороны от сепаратрисной поверхности); на сепаратрисной поверхности седла есть узел, а на сепаратрисной поверхности седло-фокуса — фокус; все другие траектории, проходящие через достаточно малую окрестность седла и седло-фокуса, выходят из его окрестности и при возрастании, и при убывании

Качественный характер седла и седло-фокуса тождествен (в смысле, полностью аналогичном такому понятию, введенному для двумерных систем).

Характер указанных состояний равновесия наглядно и просто можно посмотреть на примере линейных систем. Для системы

в начале координат при будет седло, а при седло-фокус.

Аналогично тому, как окрестность предельного цикла двумерной динамической системы изучается с помощью функции последования, в трехмерном пространстве окрестность замкнутой траектории изучается с помощью «отображения Пуанкаре»

отображения в себя трансверсальной к циклу площадки а. Точка пересечения площадки с циклом есть инвариантная точка отображения.

Возможны следующие случаи грубых предельных циклов: устойчивый (неустойчивый) предельный цикл, когда все достаточно близкие к циклу траектории стремятся к нему при и седловой предельный цикл, который может быть двух типов. У седлового предельного цикла первого типа есть четыре двумерные сепаратрисные поверхности: две примыкающие к нему трубки и два примыкающих к нему кольца. На двух из сепаратрисных поверхностей (ю-сепаратрисах) все траектории вида спиралей стремятся к циклу при на двух других (-сепаратрисах) — при седлового цикла второго типа сепаратрисными поверхностями являются два листа Мёбиуса и -сепаратрисные поверхности). Все остальные траектории из окрестности седлового предельного цикла выходят из окрестности и при возрастании, и при убывании На рис. 252 представлен седловой предельный цикл первого типа (сепаратрисные поверхности не показаны).

Рис. 252

Подчеркнем одно характерное для многомерных систем свойство: сепаратрисные поверхности разных седел и седловых предельных циклов могут пересекаться или касаться по общей для них траектории. Случай их трансверсального (без касания) пересечения является грубым.

Обратимся теперь к вопросу о перенесении понятий, введенных для двумерных систем, на трехмерные и большего числа измерений и в первую очередь — понятия грубости. И здесь ситуация осложняется. Надо иметь в виду, что рассмотрение вопроса о грубости трехмерных систем тесно связано с рассмотрением грубости отображения плоской области в себя или плоскости в плоскость. Полностью необходимые и достаточные условия грубости трехмерных систем еще не установлены. Выделены только классы грубых систем, удовлетворяющих некоторым достаточным условиям грубости. Это, в первую очередь, системы Морса — Смейла, удовлетворяющие условиям:

1) число состояний равновесия конечно и все состояния равновесия грубые;

2) число замкнутых траекторий конечно и все траектории грубые;

3) сепаратрисные поверхности различных седел и седловых предельных циклов пересекаются трансверсально (без касания).

Несмотря на простую и естественную формулировку этих достаточных условий, возможная качественная структура систем Морса — Смейла может быть очень сложной. У таких систем может быть счетное множество «ячеек». Существуют также примеры грубых динамических систем со счетным множеством седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом. Впервые такой пример был построен американским математиком Смейлом (см. список дополнительной литературы [42]). Примеры грубых систем со счетным множеством устойчивых или неустойчивых циклов с неограниченно увеличивающимся периодом отсутствуют. Доказательство того, что в грубых многомерных системах не может существовать счетного множества предельных циклов с ограниченными периодами, не представляет затруднений.

Понятие грубости динамической системы в многомерных системах не играет той роли, которую оно играет для двумерных динамических систем. Именно, метеорологом Лоренцем для целей предсказания погоды была выведена очень простая система трех дифференциальных уравнений

с постоянными параметрами (см. [36]). Оказалось, что при некоторых значениях параметров при отсутствии каких-либо устойчивых состояний равновесия или устойчивых предельных циклов у этой системы существует двумерное притягивающее множество «аттрактор» - множество чрезвычайно сложной структуры, к которому все траектории из некоторой его окрестности стремятся при

В системе (1) есть седло, и это седло принадлежит аттрактору вместе со своими двумя изолированными сепаратрисами Аттрактору же принадлежит и счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом и всюду плотное множество устойчивых по Пуассону траекторий. А главное, этот аттрактор негрубый: при сколь угодно малых изменениях параметра сепаратрисы входящего в него седла меняют свое расположение — они то включаются в сепаратрисные поверхности одного из седловых циклов, входящих в аттрактор, то отделяются от нее. Так как седловые циклы всюду плотны в аттракторе, то при непрерывном изменении параметров аттрактор сохраняется, но его структура в силу описанного поведения сепаратрис непрерывно меняется. Таким образом, аттрактор Лоренца негрубый. Сложные режимы были обнаружены Лоренцем счетом на ЭВМ. Впоследствии структура аттрактора Лоренца была рассмотрена в ряде работ, например в [25]. Полное рассмотрение см. [9, 10].

Аттрактор Лоренца и его негрубость сохраняются и вообще при всех достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1). А отсюда, очевидно, следует, что не существует сколь угодно близкой к системе (1) грубой системы и, следовательно, грубые системы не всюду плотны в пространстве трехмерных систем. Так как для двумерных систем всюду плотность грубых систем в пространстве динамических систем была чрезвычайно важным свойством, то в этом кардинальном вопросе разница между двумерными и многомерными динамическими системами очень существенна. Тем не менее понятие грубости динамических систем трех и большего числа измерений — в простейшем случае систем Морса — Смейла или даже в еще более упрощенной ситуации, например, в случае систем Морса — Смейла с конечным числом ячеек, все же сохраняет свое значение. Большое значение (как математическое, так и для приложений) имеет также рассмотрение бифуркаций многомерных динамических систем через негрубые системы. Мы сделаем по этому поводу некоторые краткие замечания.

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены «ляпуновские величины». В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов: сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом. Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38]). На рис. 254

показано исчезновение двукратного состояния равновесия седло-узел, возникшего в результате слияния двух простых — седла и устойчивого узла. В двумерных системах два седла не могут слиться, образуя двукратное состояние равновесия, но такая возможность появляется в системах с числом измерений, большим двух.

Возможные бифуркации простейшего сложного фокуса с отличной от нуля первой ляпуновской величиной: либо фокус становится грубым той же устойчивости, что и сложный фокус, либо из сложного фокуса рождается предельный цикл, а сложный фокус превращается в седло-фокус (см. [37]).

Рис. 253

Аналогичны бифуркации для сложного седло-фокуса: либо он делается грубым, либо из него рождается седловой предельный цикл, а седло-фокус становится грубым фокусом, устойчивым или неустойчивым (см. [37]).

Возможны бифуркации, полностью аналогичные бифуркациям седло-узла на плоскости. Если сепаратриса седло-узла или седло-фокуса-фокуса идет в него же и при и при то при исчезновении состояния равновесия появляется единственный предельный цикл, устойчивый или неустойчивый в зависимости от того, был ли неустойчив или устойчив узел или соответственно фокус, от слияния с которым был получен седло-узел или седло-фокус-фокус.

Если одна из сепаратрис седло-седла возвращается в него же, то при исчезновении седло-седла появляется единственный седловой предельный цикл [137, 47].

Рассмотрим бифуркации предельных циклов трехмерных динамических систем. Для таких предельных циклов Ляпуновым были введены величины, полностью аналогичные первому, неравному нулю коэффициенту в функции последования в окрестности замкнутой траектории на плоскости. Простейшими негрубыми предельными циклами являются циклы с первой ляпуновской величиной, не равной нулю. Таких предельных циклов в трехмерном пространстве три типа.

Рис. 254 (см. скан)

Предельный цикл первого типа аналогичен двукратному предельному циклу на плоскости. При малых изменениях правых частей динамической системы он или разделяется на два грубых предельных цикла — устойчивый (соответственно неустойчивый) и седловой, или исчезает. Цикл

второго типа может быть либо простым негрубым — устойчивым или неустойчивым, либо негрубым седловым. В первом случае от него при малых изменениях параметров либо отделяется двухоборотный с периодом, близким к удвоенному периоду однооборотного цикла (рис. 255), а однооборотный цикл делается седловым, либо он становится грубым устойчивым. Соответственно во втором случае от него либо отделяется двухоборотный седловой цикл, а остающийся однооборотный становится простым циклом, либо он делается грубым седловым. От цикла третьего типа — однооборотного, устойчивого — рождается устойчивый двумерный тор (рис. 256), а однооборотный предельный цикл делается неустойчивым. Разбиение на траектории самого тора может быть очень сложным. Оно может включать незамкнутые траектории, устойчивые по Пуассону (незамкнутые самопредельные), или пары устойчивых и неустойчивых замкнутых траекторий, являющихся предельными для других траекторий на торе (см. [13, дополнение]). В трехмерной системе аналогом сепаратрисы двумерной системы, идущей из седла в другое седло, является либо касание сепаратрисных поверхностей разных седел, либо «включение» сепаратрисы одного седла в сепаратрисную поверхность другого, либо совпадение изолированных сепаратрис двух седел; и -сепаратрисные поверхности седловых предельных циклов могут касаться вдоль общей траектории, а также пересекаться. Общая траектория (-сепаратрисных поверхностей седлового предельного цикла называется гомоклинической траекторией. Структура окрестности гомоклинической траектории чрезвычайно сложна и исследовалась многими авторами, начиная с Пуанкаре и Биркгофа. Наиболее полное рассмотрение в [138].

Аналогом сепаратрисы, образующей «петлю», является в трехмерной системе случай, когда изолированная сепаратриса седла включается в сепаратрисную поверхность того же седла. Целый ряд основных случаев бифуркации такой сепаратрисы,

Рис. 255

Рис. 256

«образующей петлю», исследован в работе [139]. Для трехмерных систем введено понятие «седловой величины о», полностью аналогичное седловой величине двумерной системы. Некоторые случаи рождения предельных циклов из петли сепаратрисы трехмерной системы аналогичны рождению цикла из петли двумерной системы. Так, если седловая величина и выполняется еще одно требование типа неравенства, то из петли сепаратрисы трехмерной системы при изменении параметров может родиться единственный устойчивый предельный цикл. При некоторых дополнительных условиях (типа неравенств) из петли сепаратрисы рождается единственный седловой предельный цикл. Однако если то ситуация становится неизмеримо более сложной: в окрестности петли существует счетное множество седловых предельных циклов с неограниченно возрастающим периодом ([46]). (Более подробные сведения о многомерных системах и их бифуркациях см., например, [111, 140, 16-19, 24, 38, 46, 48].)

В заключение скажем еще несколько слов о фундаментальном понятии, лежащем в основе качественного рассмотрения двумерных систем, — о классификации с точки зрения топологической тождественности разбиения на траектории: в случае многомерных систем этот подход также требует пересмотра и модификации. Однако на этих важных и тонких вопросах мы здесь не имеем возможности останавливаться и отсылаем читателя к специальной литературе (см. [63]).