§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от параметра.

Прежде чем переходить к определению грубой системы, понятию, являющемуся основным в дальнейшем, мы приведем некоторый необходимый вспомогательный материал.

Всюду в дальнейшем наряду с заданной системой

которую мы будем предполагать определенной в некоторой ограниченной области (или замкнутой ограниченной области будем рассматривать также другие системы вида

Систему (А) мы будем называть исходной системой, отличные от (А) системы -измененными системами.

Функции называются добавками к правым частям системы (А). В дальнейшем всегда предполагается, что правые части являются в рассматриваемой области аналитнческими функциями.

В области каждая из систем (А) и (А) задает свое векторное поле. Синус угла между направлением векторного поля, заданного системой (А), и направлением векторного поля, заданного системой (А) в каждой точке, дается выражением

Очевидно, в точках, в которых

угол положителен, в точках, в которых

этот угол отрицателен, а в точках, где

направления поля систем (А) и (А) совпадают или прямо противоположны. В том частном случае, когда во всех точках плоскости (или рассматриваемой области)

мы будем говорить, что система (А) дает поворот поля системы (А) (пли просто поворот поля) на неотрицательный или неположительный угол.

Предположим, что рассматривается динамическая система, правые части которой зависят от некоторого параметра,

причем эту систему при некотором частном значении параметра, например при т.е. систему

мы будем принимать за исходную систему (А). Тогда измененной системой будет система при и она, очевидно, может быть получена из исходной системы (А) с помощью добавок

В дальнейшем мы часто будем рассматривать добавки, линейно зависящие от т. е. будем наряду с данной системой (А) рассматривать измененную систему вида

Отметим еще один встречающийся в дальнейшем частный случай измененной системы, именно

Нетрудно видеть, пользуясь формулой (2) или выражением для которое нетрудно получить, что эта система дает поворот поля системы (А) на постоянный угол, тангенс которого равен

В этом частном случае измененной системы ее состояния равновесия совпадают с состояниями равновесия системы (А) (хотя характер их может быть отличен от характера состояний равновесия системы

Действительно, нетрудно видеть, что при любом мы можем иметь одновременно

лишь когда одновременно

Мы остановились здесь на этом частном случае добавок ввиду того, что поворот поля часто используется в дальнейшем при рассмотрении конкретных систем.