§ 3. Автоколебания синхронного мотора.

Рассмотрим систему

где малый параметр [59, 60, 67].

В качестве фазового пространства будем рассматривать полосу, заключенную между прямыми точки этих прямых, имеющие одинаковые координаты у, отождествляем. Полагая (рис. 203)

получим систему, близкую к кусочно-линейной консервативной системе

( положительный параметр).

1. Консервативная система.

Система (2) имеет замкнутые фазовые траектории при Замкнутые фазовые траектории системы (2) охватывают состояние равновесия. Другие траектории представляют собой спирали, накручивающиеся на фазовый цилиндр (рис. 204).

Рис. 203

Сшивание траекторий консервативной системы внутри полосы (кусков эллипсов и гипербол) осуществляется на прямых Сшивание траекторий системы (1) происходит также и на прямой

Консервативная система (2) имеет интеграл

Замкнутым кривым соответствует интервал изменения от — (состояние равновесия типа центр) до (петля сепаратрисы седла). Точка пересечения петли сепаратрисы с осью леяшт в полосе если в полосе если в полосе если В зависимости от изменяется число сшиваний для периодического движения. В дальнейшем ограничимся случаем, когда периодическое движение сшивается из траекторий не более чем трех полос При этом будут исчерпаны все возможные случаи разбиения фазового пространства на траектории.

Рис. 204

2. Состояния равновесия. Седловая величина. Система (1) имеет при два состояния равновесия: Состояние равновесия будет неустойчивым фокусом, если для точки будет

устойчивым фокусом, если и центром, если В последнем легко убедиться: при условии система (1) на полосе может быть представлена в виде

и проинтегрирована.

Состояние равновесия всегда седло. Седловая величина будет иметь значение

Существенно, что выражения для фокуса и для седла имеют одинаковое значение. Как будет показано, это определяет существенные особенности структуры разбиения фазового пространства и пространства параметров.

3. Предельные циклы. Если систему (1) записать в виде

где то значения константы выделяющие кривые консервативной системы, вблизи которых при малом будут предельные циклы системы (4), определяются как корни уравнения где

Чтобы выполнить интегрирование, нужно сделать определенные предположения о расположении петли сепаратрисы консервативной системы на плоскости и тем самым о числе кусков, из которых сшивается кривая

а) Пусть При изменении в интервале кривые будут эллипсами, целиком расположенными в полосе а интервалу будут соответствовать замкнутые кривые, сшитые из кусков эллипса и гиперболы, расположенных соответственно на полосах (

Выполняя интегрирование, получим

Здесь

Имеем также

Таким образом, функция сшивается из линейной функции на интервале и монотонной на интервале имеющей с функцией — одинаковый знак производной. Функция будет убывающей при возрастающей при и будет тождественно обращаться в нуль при

Предельных циклов в рассматриваемом случае нет. При существует внутри петли сепаратрисы континуум замкнутых кривых. При характер устойчивости фокуса однозначно определяет структуру разбиения фазового цилиндра на траектории. На рис. 205, 1, 1—4, 4 изображены структуры разбиения фазового пространства соответственно для случаев

б) Пусть Фазовые траектории консервативной системы располагаются при этом не более чем на трех полосках (не выходят на полосу Положим также для определенности, что (случай аналогичен случаю но отвечает другой последовательности интервалов изменения соответствующих определенному числу сшиваний); для будет

для будет

Выполняя интегрирование в формуле (5) для случая получим

Здесь имеют значение, указанное в (6), и будет

Имеем также

Из последнего следует, что на интервале — есть функция, принимающая положительные значения, монотонно возрастающая и обращающаяся в нуль в единственной точке

Выражения (7) определяют как непрерывную функцию, сшитую из трех кусков с различными аналитическими представлениями на интервалах Функция на интервале имеет знак, противоположный знаку а, обращаясь при в нуль тождественно. На интервале функция состоит из двух слагаемых, одно из которых положительно, а другое имеет знак, противоположный знаку а. Выбором а значение на всем интервале может быть сделано как положительным, так и отрицательным.

Проследим за корнями функции и изменением качественной структуры разбиения фазового пространства на траектории при возрастании а от отрицательных значений. При функция на всем интервале будет положительной.

Предельных циклов нет. Фокус неустойчивый. Структура разбиения фазового пространства изображена на рис. 205,1.

При функция тождественно обращается в нуль на интервале и сохраняет положительное значение на интервале

Рис. 205

Существует континуум замкнутых кривых, окружающих состояние равновесия типа центр. Петля сепаратрисы не может существовать, так как -сепаратриса седла скручивается с границы области, заполненной замкнутыми кривыми; -сепаратриса седла уходит в бесконечность по верхнему полуцилиндру (рис.

При фокус становится устойчивым. Если а достаточно мало, то на интервале будет но сохранится На интервале будет существовать корень функции соответствующий неустойчивому предельному циклу, возникшему из границы области, заполненной замкнутыми кривыми (рис. 205,2).

При возрастании о кривая будет опускаться — при этом корень будет возрастать — и для достаточно больших функция становится отрицательной на всем интервале Предельных циклов нет. Фокус устойчив. Структура

разбиения фазового пространства однозначно определяется (рис. 205, 4).

Исчезновение корня при переходе от структуры рис. 205, 2 к структуре рис. 205, 4 может происходить либо при возрастании до нуля (этому соответствовало бы влипание неустойчивого предельного цикла в петлю сепаратрисы седла), либо при слиянии его с другим корнем функции Не проводя подробного исследования поведения функции при разных а, можно по знаку седловой величины заключить, что при возрастании о реализуется именно последний случай.

Седловая величина, определяемая выражением (3), имеет при отрицательное значение и, следовательно, к петле сепаратрисы может стянуться или из нее появиться лишь устойчивый предельный цикл. Отсюда следует, что обращение в нуль величины соответствующее возникновению петли сепаратрисы, должно предшествовать исчезновению корня При перемене знака (когда становится отрицательным) появляется второй корень функции убывающий с возрастанием а и соответствующий устойчивому предельному циклу. При дальнейшем возрастании о корни к сближаются, сливаются и исчезают. Описанному процессу соответствует на фазовой плоскости смена структур, представленных на рис. 205: рис. 205, -возникла петля сепаратрисы; рис. из петли сепаратрисы возник устойчивый предельный цикл; рис. возник двойной полуустойчивый предельный цикл; рис. -циклов нет.

Приведенные простые рассуждения дают строгое доказательство существования области пространства параметров, для точек которой система (1) имеет по крайней мере два предельных цикла. Непосредственное исследование функции позволяет убедиться, что не может иметь более двух корней. Это исследование, однако, довольно громоздко [67].