§ 7. Частотно-фазовая автоподстройка частоты (случай существования трех предельных циклов).

Рассмотрим систему рассматривавшуюся в гл. 15 методом малого параметра (фазовое пространство — цилиндр) [44]:

Известными методами качественной теории обнаруживается, что для всех значений параметров на оси есть два состояния равновесия: устойчивый узел или фокус, -седло. Траектории на нижнем полуцилиндре идут из бесконечности на верхний полуцилиндр. На нижнем полуцилиндре и вокруг точки циклов нет (см. § 6). Все бифуркации могут происходить только на верхнем полуцилиндре.

Для больших к структура разбиения фазового пространства однозначно определяется сравнением с системой

Как известно (гл. 20, § 4), для каждого существует такое что при -сепаратриса седла систе мы (2), выходящая на верхний полуцилиндр, не пересекает и уходит в бесконечность на верхнем полуцилиндре. Если то поле направлений (1) повернуто относительно поля направлений (2) по часовой стрелке. Поэтому, если то -сепаратриса седла системы (1) также должна идти

в бесконечность. Циклов нет. Структура разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 175,0.

Проследим за изменением качественной структуры и возможными бифуркациями при фиксированных в плоскости параметров Качественная структура не будет зависеть от выбранных Качественные структуры, осуществляющиеся вдоль прямой известны (см. § 6). Существуют такие что на куске оси а будет осуществляться структура разбиения без предельных циклов.

Рис. 175

На куске структура с двумя предельными циклами на верхнем полуцилиндре (нижнпй — устойчивый, верхний — неустойчивый). На куске структура с одним неустойчивым предельным циклом. Точке соответствует структура с двойным предельным циклом, возникшим из сгущения траекторий. Точке структура с петлей сепаратрисы, охватывающей верхний полуцилиндр. Проследим за сменой качественных структур и возможными бифуркациями при возрастании X вдоль прямых Рассмотрим три случая.

1. . При возрастании X от значения в уравнении появляется член и бесконечность становится неустойчивой. Из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл. Эта структура изображена на рис. 175, 2. На верхнем полуцилиндре два предельных цикла. При возрастании X поле направлений поворачивается по часовой стрелке и предельные циклы монотонно сближаются (устойчивый опускается, неустойчивый поднимается). Так как при заведомо осуществляется структура разбиения, представленная на рис. 175, 0 (циклов уже нет), то существует такое для которого

предельные циклы сливаются, образуя двойной полуустойчивый предельный цикл. При возрастании X от бифуркационного значения двойной предельный цикл исчезает.

2. . При возрастании X от значения из бесконечности появляется третий предельный цикл (устойчивый). Эта структура изображена на рис. 175,5. При возрастании X верхний и нижний устойчивые предельные циклы монотонно опускаются, а расположенный между ними неустойчивый — монотонно поднимается. Так как при циклов нет, а поле поворачивается с возрастанием X монотонно, то существуют соответствующее слиянию неустойчивого предельного цикла с верхним устойчивым, и соответствующее влипанию нижнего устойчивого цикла в петлю сепаратрисы на верхнем полуцилиндре (петля может возникнуть только при стягивании к петле устойчивого предельного цикла, так как седловая величина отрицательна).

3. При возрастании X от значения из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл, который с возрастанием X монотонно опускается. Так как при циклов нет и седловая величина отрицательна, то существует соответствующее петле сепаратрисы седла на верхнем полуцилиндре. При устойчивый предельный цикл влипает в петлю сепаратрисы.

Если монотонный поворот поля не повсюду увеличивает шаг спиралей, охватывающих цилиндр (расстояние между витками), то остается еще возможность возникновения двойного предельного цикла из сгущения траекторий с последующим разделением двойного цикла на простые — устойчивый и неустойчивый. Такая возможность действительно реализуется при возрастании X вдоль прямой если достаточно близко к

Точке соответствует структура разбиения фазового пространства с двойным полуустойчивым предельным циклом на верхнем полуцилиндре. Так как поле направлений поворачивается в противоположных направлениях при возрастании X и при убывании а (соответственно по и против часовой стрелки), то предельный цикл при возрастании X разделяется на два, а при убывании а исчезает. Из соображений непрерывности следует, что на плоскости существует бифуркационная кривая выходящая из точки с отрицательным наклоном, для которой двойной цикл не разрушается. Прямая эту кривую пересекает, если достаточно близко к

Проследим за изменением качественных структур при возрастании X вдоль прямой при достаточно близком к При будет осуществляться структура рис. 175,0. Циклов нет. При переходе к положительным X появляется

устойчивый предельный цикл из бесконечности, который будет опускаться с возрастанием Для значения появляется двойной предельный цикл ниже устойчивого предельного цикла (двойной цикл не может возникнуть выше устойчивого предельного цикла, появившегося бесконечности, так как выше цикла при повороте поля по часовой стрелке с возрастанием X шаг спирали, накручивающейся на устойчивый цикл сверху, может только увеличиваться). С дальнейшим возрастанием X двойной предельный цикл разделяется на нижний устойчивый и верхний неустойчивый и осуществляется структура разбиения рис. 175,3. При дальнейшем возрастании X устойчивый цикл опускается, неустойчивый поднимается. Так как для циклов уже нет, то в интервале необходимо осуществляются еще две бифуркации: слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов на бифуркационной кривой и возникновение на бифуркационной кривой петли сепаратрисы при стягивании к ней с возрастанием X устойчивого (так как седловая величина отрицательна) предельного цикла.

Проследим расположение бифуркационных кривых в плоскости Бифуркационная кривая существует для всех значений и для значений достаточно близких к ось Кривая имеет отрицательный наклон. Последнее следует из того, что на кривой с положительным наклоном при одновременном возрастании или убывании параметров а и X векторное поле поворачивается монотонно и при этом двойной предельный цикл не мог бы существовать. Бифуркационная кривая начинается в точке существует в некоторой окрестности этой точки слева и по тем же причинам, что и кривая имеет отрицательный наклон.

Кривая не имеет в фазовом пространстве действительных ветвей, если Поэтому при условии не может быть более одного цикла, охватывающего фазовый цилиндр Это обстоятельство помогает проследить поведение кривых

Кривые и при убывании а не могут идти ни в бесконечность (так как не могут пересекать прямую ни к оси X (так как не могут пересекать прямую ни к оси а (так как имеют отрицательный наклон). Кривые могут при убывании а прекратиться лишь в угловой точке, соответствующей смыканию бифуркационных кривых Для значений параметров, соответствующих этой угловой точке, система будет иметь тройной предельный цикл.

Бифуркационная кривая существует на интервале . Любая прямая или пересекает ее только один раз, так как поле

направлении при возрастании а или А поворачивается монотонно. Она проходит через точку определению и точку определению Кривая по тем же причинам, что и кривые имеет отрицательный наклон.

Замечание. Структуры на прямой известны лишь с точностью до дополнительного четного числа циклов, охватывающих цилиндр (см. гл. 14), поэтому остается неустраненной логическая возможность существования «двойников» бифуркационных кривых

Выясним расположение кривой относительно кривых в предположении отсутствия «двойников». Если при возрастании А петля сепаратрисы вокруг цилиндра возникает и затем разрушается прежде, чем появляется двойной предельный цикл, то возникает разбиение фазового пространства на траектории без предельных циклов; -сепаратриса седла, выходящая на верхний полуцилиндр, накручивается на цилиндр, уходя в бесконечность. При дальнейшем возрастании А предельные циклы возникнуть уже не могут, так как с возрастанием А поле поворачивается по часовой стрелке и шаг спиралей на верхнем полуцилиндре при этом только увеличивается. Никакая часть кривой не может располагаться ниже кривой Поэтому кривые не могут пересекаться.

Кривая не может проходить и через угловую точку смыкания кривых Такой точке должна соответствовать структура разбиения фазового пространства с тройным устойчивым предельным циклом и простой устойчивой петлей сепаратрисы на верхнем полуцилиндре (седловая величина не равна нулю и отрицательна). Наличие этих элементов в структуре разбиения фазового пространства возможно лишь при существовании разделяющего их неустойчивого предельного цикла. Предположение о возможности такой структуры в угловой точке приводит к противоречию с предположением, что эта точка угловая (поворот поля убывании а может перевести такую структуру в структуру с одним предельным циклом, осуществляющуюся слева от прямой лишь с переходом через бифуркационную кривую а это невозможно, если начальная точка угловая).

Рис. 176

Кривая пересекает справа от угловой точки. Разбиение пространства а, А для

представлено на рис. 176. Цифрами отмечены области в пространстве параметров, соответствующие грубым структурам на отмеченным темп же цифрами. Цифры указывают на число циклов. Негрубым структурам на помеченным двумя или четырьмя цифрами, соответствуют бифуркационные кривые на разделяющие соответствующие области. Значки на рис. 177 соответственно указывают на принадлежность к бифуркационным кривым

Рис. 177 (см. скан)

Предельный цикл на рис. трехкратный.