ГЛАВА 11. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ПРАВЫЕ ЧАСТИ КОТОРЫХ СОДЕРЖАТ ПАРАМЕТРЫ

§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической системы от параметров.

Динамические системы, правые части которых зависят от того или другого числа параметров, всегда естественно возникают при рассмотрении различных задач из приложений.

Пусть правые части динамической системы зависят от параметров, т. е. имеют вид

Мы будем предполагать, что правые части являются аналитическими функциями не только переменных х, у, но и параметров

Если обратиться к рассмотрению одного из общих пространств динамических систем (см. гл. 8), то, очевидно, при каждом наборе значений параметров - мы получаем точку в этом пространстве, а при всевозможных значениях параметров в пространстве выделяется -мерпое подпространство динамических систем

Очевидно, что, в частности, система может быть негрубой при всех значениях параметров 7. Так, например, мы можем рассматривать систему вида

которая является гамильтоновой системой при всех значениях параметров (т. е. с точки зрения введенной классификации — бесконечной степени негрубости).

Очевидно, также возможны системы вида не являющиеся гамильтоновыми, но являющиеся негрубыми при всех значениях параметров. Например, при всех значениях параметров у системы может быть сложное состояние равновесия, сепаратриса, идущая из седла в седло, и т. д.

Однако в дальнейшем мы будем предполагать, что у рассматриваемых систем, правые части которых зависят от параметров: в пространстве параметров (являющемся -мерным пространством) не существует никакой -мерной области, всем точкам которой соответствуют негрубые системы.

Это предположение является существенным для рассмотрения настоящей главы.

Можно считать, что это предположение является предположением о некотором общем случае расположения многообразия размерности (выделенного в пространстве системой правые части которой зависят от параметров по отношению к тем подпространствам пространства которые соответствуют негрубым динамическим системам. Именно такой характер вхождения параметра типичен для задач теории колебаний.

При этом предположении грубые системы в пространстве параметров заполняют области. Действительно, если в n-мерном пространстве параметров существует хотя бы одна точка, которой соответствует грубая динамическая система, то тогда, очевидно, в пространстве параметров непременно будет существовать и целая -мерная область, заполненная грубыми системами. Так как грубые системы выделяются условиями типа неравенств, полное качественное исследование системы типа сводится к установлению разбиения пространства параметров на области с одинаковой — грубой — качественной структурой и к установлению этой качественной структуры. Значения параметров соответствующее грубым системам, будем называть грубыми значениями параметров, а области, заполненные грубыми значениями параметров, — грубыми областями.

Области, заполненные грубыми системами с различными качественными структурами, разделяются -мерными «пленками», точкам которых соответствуют негрубые системы, причем в общем случае — это системы первой степени негрубости.

Действительно, системы первой степени негрубости — это системы, которые выделяются одним (и только одним) условием типа равенства (например)

или

или

Это условие в пространстве параметров выделяет в общем случае -мерную поверхность — «пленку».

В математической литературе в настоящее время при рассмотрении функциональных пространств, а также введенного в гл. 8 пространства динамических систем, используется понятие «коразмерность». Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства: «коразмерность -множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией с градиентом, не равным нулю; «коразмерность 2» соответствует трансверсальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхностей; «коразмерность 3» соответствует точке. В -мерном пространстве: коразмерность 1 задается одним условием это гладкая гиперповерхность с числом измерений коразмерность 2 — гладкая гиперповерхность с числом измерений и т. д. Таким образом, в евклидовом пространстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функциональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, говорить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечномерными) ввести понятия: «гладкое функциональное соотношение», «гладкая гиперповерхность», удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого пространства, а также понятие «трансверсальное» пересечение. Тогда множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению, — это множество коразмерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих функциональным соотношениям, определяющим гладких гиперповерхностей, пересекающихся трансверсально, — множество коразмерности Пусть у динамической системы есть единственный негрубый элемент — простое состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозможные системы близкие к данной, на которые накладывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперповерхности коразмерности 1 в пространстве динамических систем («гладкость» этой поверхности устанавливается с использованием понятия «обобщенный градиент»). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат,

например, динамические системы с состоянием равновесия с чисто мнимыми корнями и равной нулю первой ляпуновской величиной

С «порядком» коразмерности как и со «степенями» негрубости связываются представления о возможных в системе при изменениях правых частей наборах бифуркаций. Понятия степеней негрубости связаны с этим более органично.

Как мы впдели, при рассмотрении систем первой степени негрубости для такпх систем запрещаются: а) случай, когда существует двукратный предельный цикл, на который извне и изнутри накручиваются сепаратрисы, и б) случай, когда на петлю сепаратрисы накручивается хотя бы одна сепаратриса. Оба эти случая невозможны в системах первой степени негрубости в силу данного определения таких систем, так что при наличии таких образований система рассматривается как система более высокой степени негрубости.

Между тем динамические системы, для которых осуществляется случай а) или б), в общем пространстве динамических систем заполняют пленки, т. е. имеют коразмерность 1. Действительно, в случае а) эта пленка выделяется условием наличия двукратного цикла, а в случае б) — условием наличия петли сепаратрисы. Однако эти пленки существенно отличаются от пленок, соответствующих системам первой степени негрубости: в любой окрестности существуют другие негрубые пленки; как в случае а), так и в случае -это пленки, соответствующие сепаратрисе, идущей из одного седла в другое седло. Можно показать, что в указанных случаях а) и б) пленка является недостижимой границей области, заполненной грубыми системами, т. е. не существует простой дуги, соединяющей сколь угодно близкую точку грубой области с указанной пленкой, не пересекающей других пленок.

Мы уже отмечали, что понятия грубости и степени негрубости могут быть полностью аналогично введены и в других математических объектах. Рассмотрим, например, пространство кривых

где аналитическая функция.

Для таких кривых можно ввести понятие «грубой кривой» и кривой «первой степени негрубости», «второй степени негрубости» и т. д. Однако при этом возникает существенное различие с динамическими системами. Можно показать, что в пространстве кривых множество кривых первой степени негрубости (и только кривых первой степени негрубости) является пленкой, и всякая такая пленка является достижимой в множестве грубых кривых. Множество кривых более высокой степени является пересечением двух (или более) пленок и всегда имеет

размерность меньшую, чем множество кривых первой степени негрубости. Можно показать, что все границы грубых областей пространства достижимы.

Указанная разница между свойствами границ грубых областей в пространстве кривых и в пространстве динамических систем является несомненным отражением того обстоятельства, что, наряду с большими аналогиями, между ними существуют и существенные различия. Мы не можем здесь останавливаться на этих, с нашей точки зрения, весьма интересных вопросах.

Значения параметров соответствующие негрубой системе (при которых точка лежит хотя бы на одной пленке, разделяющей две различные грубые области), будем называть бифуркационными значениями параметров, а изменение качественной структуры, которое пропсходит в системе при переходе от бифуркационных значений параметров к грубым значениям параметров, как и в гл. 10, будем называть бифуркацией. Разбиение пространства параметров на «грубые области» и разделяющие их пленки, соответствующие негрубым системам, называется бифуркационной диаграммой.

В § 2 гл. 10, рассматривая исходную негрубую систему, мы устанавливали все возможные бифуркации при переходе от этой негрубой системы к любым достаточно близким грубым системам пространства.

Однако для задач из приложений при рассмотрении бифуркаций основной интерес представляет следующий вопрос: какова последовательная смена качественных структур при изменении параметров вдоль кривой в пространстве параметров, проходящей через бифуркационное значение параметров и переходящей из одной грубой области в другую?

Следующий параграф посвящен рассмотрению указанной смены качественных структур.