§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом.

Рассматривается система [29]

где имеет падающий участок при аппроксимации кубическим полиномом

и условиях

Последнее эквивалентно условию при котором в системе возможны разнообразные бифуркации. В случае возможными бифуркациями являются только появление и исчезновение состояний равновесия, так как на всей плоскости

1. Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло.

Дискриминантная кривая в плоскости отделяющая область трех состояний равновесия от области одного состояния равновесия, получается из условия соприкосновения прямой и кривой и в параметрическом виде дается уравнениями

где координата точки касания.

Значению определяемому из условия соответствует точка возврата дискриминантной кривой. Дискриминантная кривая располагается слева от точки возврата и обращена выпуклостью в сторону области трех состояний равновесия (вторая производная имеет значение и меняет знак, когда параметр переходит через значение, соответствующее точке возврата).

Исключая из (3) параметр уравнение дискриминантной кривой получим в виде

Координаты точки возврата будут

Точкам дискриминантной кривой соответствуют два состояния равновесия системы (1): фокус (узел) и сложное состояние равновесия седло-узел. Точке возврата соответствует слияние трех состояний равновесия.

Система (1) будет иметь сложный фокус на прямых, выходящих по касательной из точек дискриминантной кривой при в область

Для координат состояний равновесия имеем уравнение

Условие дает

откуда

Подставляя (6) в (5), находим для состояния равновесия

для состояния равновесия

В плоскости параметров А, а прямые (7) и (8) касаются верхнех! и нижней ветвей дискриминантной кривой при пересекаются в точке

и пересекают ветви дискриминантной кривой при

Координаты могут соответствовать как фокусу, так и седлу, и поэтому при переходе через прямые (7) и (8) может менять знак или фокусная, или седловая величины .

Перенесем начало координат в состояние равновесия где одно из чисел или определяемых выражением (6). Полагая получим вместо (1) систему

Для системы (10) будет

Состоянием равновесия в начале координат будет сложный фокус, если или седло, если

Первая ляпуновская величина для системы (10) имеет вид

обращается в нуль при

Сложный фокус устойчив при и неустойчив при При устойчивость сложного фокуса определяется знаком второй ляпуновской величины

Для ее вычисления перейдем в уравнениях (10) к новым переменным по формулам

В новых переменных уравнения (10) примут вид За

Для уравнений (13) величина может быть подсчитана по готовой формуле Получаем

Отметим, что в выражения (11) и (14) для не входит величина следовательно, полученные выражения относятся как к левому так и к правому сложным фокусам для значений параметров на прямых (7) и (8) при

Рис. 157

2. Поведение в бесконечности. Построим на плоскости прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, для которого изоклина служит диагональю. Если такой прямоугольник взять достаточно большим, то изоклина порядок роста которой выше, чем у прямой, стороны, параллельные оси у, не будет пересекать, а каждую из других сторон пересечет в одной точке. Все траектории системы (1) будут с возрастанием входить внутрь такого прямоугольника. Бесконечность при любых значениях параметров системы будет неустойчивой (рис. 157).

3. Качественная структура фазового пространства и пространства параметров.

3.1. Симметрия в фазовом пространстве. Перенесем начало координат в точку перегиба характеристики Система (1) примет вид

где

Из (15) видно,

а) если то фазовое пространство системы (15) симметрично относительно начала координат (точки перегиба характеристики)

б) если две прямые располагаются симметрично относительно начала координат то фазовые портреты для значений будут симметричны относительно точки перегиба характеристики.

При изучении пространства параметров можно поэтому ограничиться рассмотрением только части пространства параметров а, А — либо выше, либо ниже линии симметричных структур где — координаты точки перегиба характеристики. В раскрытом виде

Рис. 158

На рис. 158 жирной линией изображена дискриминантная кривая, прямые смены устойчивости (соответственно для фокусов и линия симметричных структур проходящая через точку пересечения (штриховая кривая соответствует наличию двукратного предельного цикла, что будет доказано ниже).

Дальнейшее рассмотрение ведется для значений параметров ниже линии симметричных структур.

3.2. Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль прямой смены устойчивости фокуса Проследим за бифуркациями и изменением качественной структуры разбиения фазового пространства при менении параметров вдоль прямой

Пусть При этом и сложный фокус будет устойчив. Принимая во внимание, что (см. (6)), из (12) и (9) находим, что следовательно, для этих

значений параметров система (1) имеет одно состояние равновесия. При уменьшении X от значения меняет знак сложный фокус меняет устойчивость (оставаясь сложным) и от него рождается устойчивый предельный цикл. При дальнейшем уменьшении X на интервале устойчивый цикл сохраняется. Значение соответствует касанию прямой и характеристики При этом на фазовой плоскости возникает седло-узел с неустойчивой узловой областью в седло-узле) и, как можно убедиться, при любых характеристиках, соответствующих определенному выбору коэффициентов именно внутри предельного цикла.

Еслп для некоторых аппроксимаций седло-узел возникает внутри цикла, а для других вне его, то по непрерывности должна существовать и такая характеристика, для которой седло-узел возникает на предельном цикле. Но седло-узел с неустойчивой узловой областью не может возникнуть на устойчивом предельном цикле

Таким образом, достаточно знать взаимное расположение цикла и седло-узла для какой-либо одной конкретной аппроксимации. Для системы (1) с аппроксимацией и параметрами (соответствующими состояниям равновесия сложный фокус и седло-узел) численным методом установлено, что цикл охватывает седло-узел. Следовательно, это имеет место для любых кубических аппроксимаций.

При дальнейшем продвижении вдоль прямой внутрь области, ограниченной дискриминантной кривой, седло-узел распадается на седло и неустойчивый узел, который затем превращается в фокус. Точке пересечения прямой с линией симметричных структур соответствует фазовое пространство, содержащее два сложных фокуса, расположенных симметрично относительно седла (-сепаратрисы седла идут к устойчивому циклу, охватывающему все три состояния равновесия, -сепаратрисы скручиваются с неустойчивых! сложных фокусов).

Замечание. Качественная структура разбиения фазового пространства на траектории по использованной информации описывается лишь с точностью до дополнительного четного числа предельных циклов, возможно, возникших из сгущения траекторий. Такая неполнота и в дальнейшем не может быть устранена.

3.3. Структура разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль линии симметричных структур. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль линии симметричных структур Пусть определяется выражением (4)). Единственное состояние равновесия системы — неустойчивый фокус (узел). Бесконечность неустойчива. Вокруг фокуса существует

устойчивый предельный цикл. Убыванию А вдоль прямой соответствует поворот прямой вокруг состояния равновесия в точке перегиба характеристики При прямая будет касаться характеристики в точке перегиба пересекает дискриминантную кривую в точке возврата) и возникнет сложное состояние равновесия, распадающееся при убывании к от значения на три простых: два неустойчивых узла (фокуса) и седло между ними. На интервале бифуркаций состояния равновесия не происходит. При оба фокуса становятся сложными, и при убывании от значения из них рождаются неустойчивые предельные циклы (первая фокусная величина положительна). Возникает структура фазового пространства с тремя предельными циклами, -сепаратрисы седла идут к устойчивому циклу, охватывающему все три состояния равновесия, -сепаратрисы скручиваются с неустойчивых циклов, охватывающих устойчивые фокусы.

При дальнейшем убывании к на интервале смены устойчивости состояний равновесия не происходит, но при циклов уже нет (при существует интегральная прямая проходящая через все состояния равновесия). Предельные циклы могут исчезнуть, только превратившись в петли сепаратрис или слившись с циклами, вновь возникшими из петель сепаратрис. Существенно, что циклы вокруг фокусов и цикл, охватывающий все три состояния равновесия, имеют разную устойчивость. В соответствии со знаком седловой величины только неустойчивые циклы, охватывающие состояния равновесия, могут превратиться (и обязательно превратятся при некотором в петли сепаратрис. Эти две петли (возникающие одновременно, так как линия симметричных структур) можно рассматривать как одну вырожденную большую петлю, от которой при ее разрушении с убыванием к возникает неустойчивый же предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия. При некотором предельные циклы, охватывающие три состояния равновесия, сливаются и при убывании к исчезают.

3.4. Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль дискриминантной кривой. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль нижней ветви дискриминантной кривой, начиная от точки возврата На интервале будет существовать структура с неустойчивым фокусом и седло-узлом неустойчивой узловой областью внутри устойчивого предельного цикла (рис. 159,10). При убывании А от значения фокус меняет устойчивость и, так как из него рождается неустойчивый предельный цикл (рис. 159,5). Чтобы проследить за дальнейшими бифуркациями при убывании А до нуля, следует прежде всего выяснить структуру при Она легко определяется, так как при существует интегральная

прямая проходящая через оба состояния равновесия (устойчивый узел и седло-узел с устойчивой узловой областью). Предельных циклов нет. Качественная структура эквивалентна изображенной на рис. 159,7 (узловая область покрыта штриховкой).

Рис. 159 (см. скан)

Для седло-узла значение является бифуркационным. При узловая область устойчива (седло-узел имеет две ю-сепа-ратрисы , при неустойчива (седло-узел имеет две -сепаратрисы при седло-узел вырождается (характеристическое уравнение имеет два нулевых корня)

и узловая область исчезает (состояние равновесия имеет одну и одну (-сеиератрису). Структура с сохранением типа состояний равновесия, как на рис. 159,1, осуществляется на интервале

Для прослеживания бифуркаций вдоль дискриминантной кривой существенным является установление качественной структуры при Как будет видно из дальнейшего, при возрастании к от нуля необходимо возникает из сгущения траекторий двойной предельный цикл, охватывающий состояния равновесия, однако не существует способов обнаружить точные значения параметров, при которых он возникает. В дальнейшем будем предполагать, что при предельных циклов еще нет и осуществляется структура рис. 159, 2 (изменения в результатах, отвечающие предположению о существовании предельных циклов уже при будут в дальнейшем указаны)).

При возрастании к от значения к — 1 возникает структура, качественно эквивалентная представленной на рис. 159,5. Возникает неустойчивая узловая область седло-узла (обе -сепаратрисы выходят по направлению -сепаратриса входит по направлению Узел становится фокусом при где

Сопоставим теперь расположение а- и -сепаратрис для структур на рис. 159, 9 и 159, 3. Отметим точки пересечения с и -сепаратрисами на отрезке прямой выше фокуса (ближайшие но ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след -сепаратрисы на прямой расположен ниже следов -сепаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборорот — выше. При убывании к последовательно должны осуществиться бифуркации, соответствующие совпадению на прямой следа -сепаратрисы со следом -сепаратрисы (выходящей из седло-узла вверх) и со следом -сепаратрисы (выходящей вниз). Так как седловая величина при положительна, то при образовании первой петли (при к ней стягивается неустойчивый предельный цикл (см. гл. И) (рис. 159, 8). При расположении следа -сепаратрисы между следами и -сепаратрис будет существовать замкнутый контур, образованный -сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов и -сепаратрис при возникает петля сепаратрисы (рис. 159,б), от которой при ее разрушении с уменьшением к рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает

структура рис. 159,5 с двумя предельными циклами, между которыми нет состояний равновесия. На интервале при некотором предельные циклы сливаются в двойной полуустойчивый предельный цикл (рис. 159,4) и затем исчезают. Последовательность структур вдоль нижней ветви дискриминантной кривой представлена на рис.

3.5. Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации внутри дискриминантной кривой в области трех состояний равновесия. Дискриминантная кривая, представленная в параметрическом виде уравнениями (3), может рассматриваться как огибающая семейства прямых в плоскости Полупрямые

касающиеся в точке дискриминантной кривой, однократно покрывают область, ограниченную линией симметричных структур и нижней ветвью дискриминантной кривой, при изменяющемся от точки перегиба до минимума характеристики (при Зас). Движение в пространстве параметров А, о вдоль полупрямых (16) от точки касания соответствует для системы (1) повороту против часовой стрелки изоклины вокруг седла, возникшего в точке при разделении седло-узла на седло и узел.

Рассмотрим бифуркации, осуществляющиеся при движении по полупрямым (16), касающимся дискриминантной кривой на интервале Здесь возникнут как бифуркации состояний равновесия, так и бифуркации сепаратрис и предельных циклов.

При уменьшении А состояние равновесия седло-узел внутри устойчивого предельного цикла разделяется на седло и неустойчивый узел, который при дальнейшем уменьшении А превращается в фокус (рис. 160,11).

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми происходят бифуркации состояний равновесия: при уменьшении А сначала из фокуса (рис. 160,10) и затем из фокуса рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при предельных циклов нет интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,1), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании А до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис: возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна координата

точки касания полупрямой (16) с дискриминантной кривой), то петли сепаратрис могут быть только неустойчивыми, и их образование сопровождается влипанием в них (или, наоборот, рождением от них) неустойчивых предельных циклов.

Рис. 160 (см. скан)

Петли сепаратрис вокруг фокусов возникают при влипании в них неустойчивых предельных циклов, появляющихся из фокусов. Разрушение большой петли, образованной и -сепаратрисами седла, сопровождается появлением неустойчивого предельного цикла, охватывающего все состояния равновесия (большая петля не может возникнуть за счет стягивания к ней устойчивого

предельного цикла, так как это запрещает знак седловой величины (см. гл. 11)). Так как при циклов нет, то при дальнейшем уменьшении X из слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов должен возникнуть двойной предельный цикл и затем исчезнуть. Точки бифуркаций на полупрямых (16), соответствующие петлям сепаратрис вокруг верхнего и нижнего фокусов, либо могут совпадать, либо должны разделяться точкой бифуркации, соответствующей большой петле.

Для полупрямых (16), касающихся нижней границы дискриминантной кривой на интервалах бифуркации будут аналогичными, но число их от интервала к интервалу будет уменьшаться за счет того, что некоторые бифуркации уже произошли при движении вдоль дискриминантной кривой.

Рис. 161

Так как указанные бифуркации имеют место на прямых, целиком заполняющих рассматриваемую область внутри дискриминантной кривой, то существуют непрерывные кривые, на которых осуществляются бифуркации. Их начальные и конечные точки располагаются на линии симметричных структур и на дискриминантной кривой. Все три бифуркационные кривые, соответствующие трем типам петель сепаратрис, пересекаются в точке линии симметричных структур (рис. 161). Они заканчиваются в точках на дискриминантной кривой. В точках осуществляются структуры с петлями сепаратрис. В точке сепаратрисы вырожденного седло-узла (см. гл. 4) нужно рассматривать как вырождение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, стягивающейся вместе с фокусом в одну точку. Кривая двойных циклов проходит между точкой на линии симметричных структур и точкой на дискриминантной кривой слева от кривой, на которой осуществляется большая петля.

Некоторые из бифуркационных кривых могут пересекаться, и поэтому последовательность качественных структур и бифуркаций при изменении параметра X вдоль отрезков касательных внутри дискриминантной крривой может быть различной.

3.6. Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации вне дискриминантной кривой (в области одного состояния

равновесия). Здесь возможны три структуры: неустойчивый фокус внутри устойчивого предельного цикла, устойчивый фокус, окруженный двумя предельными циклами, и устойчивый фокус (узел), к которому траектории идут из бесконечности. Первая из перечисленных структур существует для точек вне дискриминантной кривой в области между прямыми область [2] на рис. 158, 161). Область существования двух предельных циклов примыкает на интервале к куску дискриминантной кривой и к прямой На интервале при смещении с дискриминантной кривой в область одного состояния равновесия (см. рис. исчезает состояние равновесия седло-узел и остаются два предельных цикла вокруг устойчивого фокуса (на рис. 159, 6—8 неустойчивый предельный цикл при исчезновении седло-узла возникает из замкнутой траектории, образованной -сеиаратрисой седло-узла). На интервале при переходе из области в область убыванием из фокуса появляется второй неустойчивый предельный цикл при Бифуркационная кривая (штриховая на рис. 158, 161), соответствующая слиянию устойчивого и неустойчивого предельных циклов, начинается в точке на прямой и пересекает дискриминантную кривую при выделяя некоторую окрестность дискриминантной кривой и прямой для точек которой есть одно устойчивое состояние равновесия и два предельных цикла (область [2] на рис. 158, 161). При переходе из области в область при устойчивый цикл стягивается к фокусу и возникает структура без предельных циклов (область [5] на рис. 158, 161). Границами области без предельных циклов служат кусок дискриминантной кривой кривая двойных циклов и прямая

3.7. Разбиение пространства параметров. Разбиение пространства параметров на области различной качественной структуры по обе стороны линии симметричных структур приведено на рис. 161. Соответствующие различным областям грубые структуры разбиения фазового пространства (обозначенные теми же номерами) представлены на рис. 160. Жирными линиями изображены сепаратрисы и предельные циклы, штриховой — неустойчивые предельные циклы. Устойчивые состояния равновесия — черные точки, неустойчивые — светлые.

Разбиение на рис. 161 соответствует предположению, сделанному в п. 3.4, об отсутствии предельных циклов для структур в точке дискриминантной кривой. Если предположение не выполняется, то кривая двойных циклов (штриховая на рис. 161) будет проходить не через точку а через точку и тогда исчезнут области [2] и [5], а на рис. 460 — соответственно структуры