§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр.
Пусть 
такая траектория, и пусть 
решение системы (3), ей соответствующее. В этом решении обе функции уже не являются периодическими, как для случая замкнутой траектории на плоскости, а значит, и для замкнутой траектории, не охватывающей цилиндр, а, очевидно, удовлетворяют следующему условию: при некотором 
Если во всех точках замкнутой кривой, охватывающей цилиндр,
то уравнение такой кривой после исключения 
из уравнений (4) будет иметь вид
где 
периодическая функция 
с периодом 
т. е.
Так как в минимуме и максимуме функции 
то отсюда, очевидно, следует, что если ординаты изоклины
ограничены, 
и 
соответственно наименьшая и наибольшая ординаты этой кривой, то, если система (3) имеет замкнутую траекторию, охватывающую цилиндр, эта траектория может лежать на цилиндре только в полосе
Для изучения окрестности замкнутой кривой 
охватывающей цилиндр, так же как и в случае замкнутой кривой на плоскости, построим функцию последования на каком-нибудь отрезке без контакта, проведенном через точку 
В качестве отрезка без контакта всегда можно взять отрезок некоторой прямой 
постоянная), содержащий точку — обозначим ее через 
замкнутой траектории 
Так как функция последования (и функция соответствия) всегда строится (см. гл. 5) в направлении возрастания 
то нетрудно видеть, развернув цилиндр на плоскость 
что функция последования на отрезке I прямой 
строится либо как функция соответствия между отрезком 
и конгруэнтным ему отрезком прямой 
либо как функция соответствия между отрезком I и конгруэнтным ему отрезком прямой 
Пусть 
параметр на отрезке I и
— функция последования на нем (т. е. на плоскости 
функция соответствия между указанными выше отрезками). Очевидно, так же как и в гл. 5, грубый предельный цикл — это замкнутая траектория, для которой 
Предельный цикл, охватывающий цилиндр, устойчив, если 
и неустойчив, если 
Предельный цикл, охватывающий цилиндр, называется 
-кратным, если 
и первый не равный нулю коэффициент он 
есть 
Если 
то все траектории в окрестности рассматриваемой траектории 
замкнуты (и, очевидно, охватывают цилиндр). При этом
где
В случае, когда в точках 
так что уравнение 
может быть записано в виде
, очевидно, является решением уравнения 
мы имеем
При этом в случае, когда в точках 
мы имеем
а в случае, когда в точках 
имеем
Условием устойчивости цикла является
условием неустойчивости —
Принимая во внимание знак 
в точках 
мы можем также записать условия устойчивости цикла, охватывающего цилиндр, в следующей форме.
