§ 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра.

В случае, когда правые части динамической системы зависят более, чем от одного параметра, каждая из указанных в § 2 последовательных смен качественных структур будет происходить при изменении параметров вдоль дуги, пересекающей в пространстве параметров негрубую -мерную пленку, точкам которой соответствуют системы первой степени негрубости с одним из негрубых особых элементов типов I—IV § 2.

Пусть, например, т. е. правые части системы зависят от двух параметров и и мы имеем плоскость параметров и

Будем называть линию в плоскости параметров все точки которой соответствуют бифуркационным значениям параметров, бифуркационной кривой. Предположим, что для рассматриваемой динамической системы, правые части которой зависят от двух параметров,

точки бифуркационных кривых соответствуют системам первой степени негрубости (как указывалось, это должно иметь место в общем случае вхождения параметров в правые части).

Пусть, например, у системы существует двукратное состояние равновесия седло-узел. Это означает, что рассматриваемая система соответствует значениям параметров которые удовлетворяют системе уравнений

Исключая х и у из этих трех уравнений, мы получим одно соотношение между параметрами

Это соотношение дает уравнение бифуркационной кривой, неособым точкам которой (т. е. значениям ) точек этой кривой, для которых соответствуют системы имеющие двукратное состояние равновесия седло-узел.

Если у кривой есть особые точки, т. е. точки, в которых то эти точки соответствуют системе имеющей состояние равновесия кратности выше второй. Если мы в пространстве параметров пересечем кривую переходя с одной стороны этой кривой на другую, то на плоскости для рассматриваемой динамической системы в окрестности седло-узла будет осуществляться смена качественных структур; рассмотренная в § 2 (см. рис. 99 гл. 10).

Рассмотрим еще другой случай системы первой степени негрубости, именно случай, когда система имеет сложный фокус первого порядка, т. е. когда для рассматриваемой системы выполняются условия

и при этом А(х, Исключая х и у из трех соотношений, мы, вообще говоря, получим одно соотношение между параметрами 7,1 и 7,2:

Точкам бифуркационной кривой (т. е. значениям и для точек этой кривой) соответствуют системы которых есть сложный фокус. Так как мы предположили, что бифуркационным кривым соответствуют системы первой степени негрубости, то при значениях и 7°, соответствующих кривой Обычно по знакам можно установить, с какой стороны от кривой фокус устойчив, а с какой — неустойчив. Если можно установить знак то тогда мы можем различить, какая из смен качественных структур: случая На, или 116, имеет место при пересечении бифуркационной кривой.

Обратим внимание на следующее. Если исключить значения х, у из трех уравнений (2), не учитывая условия А(х, то мы получим кривую на плоскости

которая состоит из двух частей и о; точки одной части соответствуют системам имеющим сложный фокус, а другой части — системам, имеющим седла, в которых седловая величина

Точки второй части о могут представить интерес для качественного рассмотрения системы Действительно, значениям параметров по разные стороны от части соответствуют динамические системы, имеющие седла с различными знаками седловой величины

Если, кроме того, известно, что, как в области, где так и в области, где есть точки, которые соответствуют системам имеющим сепаратрису, образующую петлю, то знание знака очевидно, позволяет судить об устойчивости или неустойчивости цикла, рождающегося из этой петли. Примеры использования сведений о знаке даются в задачах и IV.

Методы нахождения (аналогичные методам нахождения кривых уравнений бифуркационных кривых, соответствующих двукратным циклам или сепаратрисам, идущим из седла в седло, очевидно, отсутствуют. Действительно, для того чтобы методом, аналогичным методу определения кривых найти уравнение бифуркационной кривой, соответствующей двукратному предельному циклу, нужно, очевидно, найти решение, соответствующее предельному циклу

(соответствующее периодическое решение), как функцию параметров, а также его период как функцию параметров и затем подставить это решение и период в выражение

Однако очевидно, что проведение всех указанных действий может быть осуществлено лишь в очень частных случаях. Иногда удается косвенными методами установить существование таких бифуркационных кривых и даже получить некоторые сведения об их расположении.

Укажем один из случаев, когда можно доказать существование в плоскости параметров бифуркационной кривой, соответствующей двукратному предельному циклу.

Предположим, что на некоторой части о кривой (кривая соответствует сложному фокусу) величина положительна, на части отрицательна и в точке этой кривой, являющейся общим концом этих двух частей величина Если удается показать, что в точке вторая ляпуновская величина то на основании общей теории (см. гл. 10) отсюда можно заключить, что при значениях параметров, соответствующих точке плоскости параметров, динамическая система имеет сложный фокус второго порядка, из которого при изменении параметров могут появиться два (и не более) предельных цикла (см. гл. 10).

Принимая во внимание, что от сложного фокуса, в котором рождается устойчивый предельный цикл, а от сложного фокуса с неустойчивый, и используя соображения непрерывного перехода от одних значений параметров к другим, в этом случае можно установить, что на плоскости параметров существует бифуркационная кривая с концом в точке соответствующая двукратному предельному циклу (см. примеры гл. 16).

Если на плоскости параметров точки бифуркационной кривой соответствуют системам первой степени негрубости, имеющим один из указанных в гл. 9 негрубых элементов, то при изменении параметров вдоль какой-нибудь дуги, пересекающей кривую смена качественных структур будет одной из описанных в § 2 (при изменении от

Особым точкам бифуркационных кривых или общим точкам различных бифуркационных кривых соответствуют динамические системы степени негрубости выше первой.

В то время как точки бифуркационных кривых, соответствующих системам первой степени негрубости, являются граничными для двух различных грубых областей пространства параметров, точки, соответствующие системам более высокой

степени негрубости, могут быть граничными более чем для двух грубых областей. Поэтому нахождение точек пространства параметров, соответствующих системам степени негрубости выше первой, и изучение поведения системы в окрестности таких значений параметра часто позволяют установить наличие целого ряда различных грубых областей с различными качественными структурами.

Остановимся на одном частном случае динамической системы второй степени негрубости, именно, динамической системы, имеющей двукратное состояние равновесия, для которого (см. гл. 10, § 4). Можно показать, что все бифуркации этого состояния равновесия могут быть получены при изменении двух независимых параметров. В пространстве этих параметров — мы их будем обозначать через и — такому состоянию равновесия соответствует общая точка кривых

Можно показать, что при значениях параметров, соответствующих этой точке (рис. 108), кривые касаются в точке При этом всем отличным от точкам соответствуют седло-узлы, но точкам кривой лежащим по одну сторону точки седло-узлы с устойчивой или соответственно неустойчивой узловой областью, а по другую сторону с неустойчивой (устойчивой) узловой областью. Кривая точкой делится на две части: а и Одной ((соответствует сложный фокус (сплошная линия на рис. 108), другой — седло, для которого Между двумя ветвями кривой лежит кривая I (упирающаяся в точку соответствующая петле сепаратрисы.

Рис. 108