§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем.

При дальнейшем описании свойств сшитых систем рассмотрим в первую очередь, так же как и в случае систем с аналитическими правыми частями, каков возможный характер отдельной траектории или полутраектории такой системы.

Пусть точка, принадлежащая области положительная полутраектория системы проходящая при через эту точку. Рассмотрим возможное поведение при Возможны следующие случаи.

1) При всех полутраектория остается в области которой принадлежит конец точка Тогда определена для всех и ее возможный характер такой же, как и у аналитической динамической системы. (В частности, если полутраектория стремится к состоянию равновесия, то это состояние равновесия может лежать как внутри так и на границе (на линии сшивания).)

2) При стремящемся к некоторому конечному значению полутраектория приходит в некоторую точку на линии сшивания I, являющуюся граничной для еще одной частичной области

Рис. 185

Рассмотрим случай, когда полутраектория не касается линии I в точке Могут представиться следующие возможности:

а) траектория системы проходящая через точку не касается дуги I, и при возрастании уходит от граничной дуги I внутрь области Тогда могут быть следующие случаи:

a) положительная полутраектория системы концом в точке считается непосредственным продолжением траектории (так что в этом случае непрерывно продолжается через линию сшивания) (рис. 185, а);

а) полутраектория кончается в точке так что точка аналогична полуустойчивому состоянию равновесия (рис. 185, б);

б) траектория системы «втыкается» при возрастании в точку Тогда:

б) точка считается аналогичной состоянию равновесия (рис. 186, а);

Рис. 186

б) точка считается точкой траектории, совпадающей с граничной кривой I (рис. 186, б);

в) из точки изображающая точка, двигавшаяся по перескакивает в некоторую другую точку дуги I, а траектория системы которая из точки при возрастании входит в область считается продолжением Возможно также, что часть дуги I между точками является продолжением а дальнейшим продолжением является полутраектория системы выходящая из точки (рис. 187).

Рис. 187

Мы не будем здесь рассматривать случай, когда траектория касается в точке дуги I (в этом случае иногда возможны те же условия продолжения или остановки, что и рассмотренные выше), а также не будем обсуждать другие возможные случаи доопределения на линии сшивания и будем обращаться к ним, если они будут встречаться в рассматриваемых далее конкретных задачах.

Отметим некоторую существенную особенность, указанную доопределениями траекторий в сшитых системах,

соответствующих реальным задачам: полутраектория доопределяется всегда однозначно при возрастании Однако в сторону убывания траектория, вообще говоря, не определяется (и однозначность доопределения при убывании теряется).