ЧАСТЬ I. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЕ СИСТЕМЕ НА ПЛОСКОСТИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

§ 1. Автономная динамическая система на плоскости.

Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. уравнения

Если положить следовательно, то уравнение (I) очевидно приведется к системе двух дифференциальных уравнений вида

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнения (I). Во многих задачах при написании уравнений движения удобно вводить обобщенные координаты и импульсы, и тогда, пользуясь уравнениями Лагранжа, мы можем получить систему двух дифференциальных уравнений более общего вида, т. е. какую-либо систему вида

не обязательно равно у, как в системе

В настоящей книге рассматривается тот частный случай системы (III), когда независимое переменное в правые части системы не входит, т. е. система имеет вид

Такая система в случае, когда функции определены на всей плоскости — декартовы координаты) или в некоторой области плоскости (ограниченной или неограниченной), удовлетворяет условиям теоремы существования и

единственности решения (см. § 2) и называется автономной динамической системой второго порядка (в области

В настоящей книге рассматривается случай, когда Р(х, у) и являются аналитическими функциями (т. е. в окрестности всякой точки — области определения динамической системы могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням

Система (А) является частным случаем системы (III), правые части ее не содержат явно в силу чего как область пространства в которой должны рассматриваться ее правые части, так и решения этой системы обладают некоторыми частными свойствами.

Пусть область плоскости (в частности, могущая совпадать со всей плоскостью (х, у)), в которой определены функции Р(х, у) и Тогда правые части системы (А), рассматриваемые как функции определены в области пространства декартовы координаты), состоящей из всевозможных точек которых может быть любым, а х и у таковы, что точка с этими координатами принадлежит области плоскости Область является, следовательно, бесконечной цилиндрической областью, образованной прямыми, параллельными оси пересекающими плоскость в точках области