§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе.

Замкнутые траектории, возможные в грубой системе, будем называть грубыми.

Как мы видели в гл. 5, свойства замкнутой траектории данной системы естественным образом изучаются с помощью функции последования построенной на дуге без контакта параметр на этой дуге). Рассматривая наряду с данной системой измененную систему

достаточно близкую к системе построим на той же дуге I функцию последования, соответствующую такой системе (функция последования для системы достаточно близкой к на дуге I всегда существует в силу теорем 1—3 гл. 7). Тогда справедливы следующие предложения.

Теорема 7. Замкнутая траектория с характеристическим показателем, не равным нулю, т. е. такая, для которой (см. гл. 5), является грубой.

На диаграмме Ламерея (см. гл. 5) грубым предельным циклам, очевидно, соответствуют простые точки пересечения кривой с биссектрисой Если функция последования системы (А), достаточно близкой к (А), то в силу требования близости производных от правых частей систем (А) и (А) не только сама функция близка к но и производная близка к производной При этом условии, очевидно, всегда существует только одна точка пересечения кривой с прямой близкая к точке пересечения кривой с этой прямой.

Пусть — сложный -кратный предельный цикл. Следующая теорема аналогична теореме 4 настоящей главы.

Теорема (о рождении предельного цикла из сложного предельного цикла).

Если сложный -кратный при предельный цикл системы (А), то при любых всегда можно указать такую систему -близкую к системе которой в -окрестности существуют по крайней мере два предельных цикла.

Мы будем говорить, что предельные циклы системы (А), существование которых доказано в теореме, «рождаются» из предельного цикла

Теорема 8. Если замкнутая траектория системы (А), и все траектории, проходящие через точки некоторой -окрестности этой траектории, замкнуты, то при любом достаточно малом можно указать такую измененную систему -близкую к которой в -окрестности не существует ни одной замкнутой траектории.

Следующая теорема, дающая необходимые условия грубости динамической системы (А), непосредственно вытекает из двух предыдущих.

Теорема 9. Если система (А) является грубой в области то в области не может существовать замкнутая траектория с характеристическим показателем, равным нулю.