§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траектории.

Аналитические выражения для коэффициентов могут быть найдены методом, полностью аналогичным тому, которым находятся ляпуновские величины (см. гл. 3).

Пусть

— движение, периодическое с периодом соответствующее рассматриваемой замкнутой траектории . В окрестности вводится криволинейная система координат с помощью формул

Прямые являются нормалями к замкнутой траектории следовательно, не имеют контактов с траекториями, достаточно близкими к а кривые замкнутыми кривыми (кривая совпадает с (рис. 68). Якобиан преобразования (2) при отличен от нуля.

Рис. 68

Функция последования на отрезке нормали может быть найдена совершенно аналогично тому, как это делалось в окрестности фокуса. После перехода в системе (А) к координатам и исключения мы получаем соответствующее системе (А) дифференциальное уравнение

которое дает уравнение траектории в координатах и, v (уравнение замкнутой траектории есть Выражение коэффициентов через функции и может быть найдено. В частности,

Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям

является аналитической функцией и может быть разложено в ряд по степеням

Подставляя (ср. § 5 гл. 3) это выражение в уравнение (3), получаем тождественное равенство

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем рекуррентные уравнения для определения

Начальные условия для определения из этих уравнений мы получаем из очевидного условия откуда

Функцией последования на отрезке и , очевидно, является функция

где период на замкнутой траектории. Возвращаясь к обозначениям § 4, мы можем написать

причем соответствует замкнутой траектории Далее,

Для первого коэффициента мы получаем из уравнений (5)

или, принимая во внимание выражение (4) для

Выражение

называется характеристическим показателем замкнутой траектории

Очевидно, следовательно, предельный цикл устойчивый, если и неустойчивый, если При этом тогда и только тогда, когда и только в этом случае предельный цикл является сложным.

Величина называется мультипликатором предельного цикла.