§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением вычислительных методов.

Пример 1 (нелинейная система частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях). Рассмотрим еще один случай, когда эта система приводится к виду

В рассматриваемом случае консервативная система, к которой близка рассматриваемая, та же, что и в примерах 2, 3 § 2, т. е. (см. рис. 138, а)

Функция Понтрягина в этом случае имеет вид

где у, очевидно, определяется из уравнения (2).

Выражение для функции после некоторых преобразований можно записать через эллиптические интегралы, полагая в виде

Здесь как и выше, — полные эллиптические интегралы первого и второго рода, полный эллиптический интеграл третьего рода. Полученное выражение для сложно, и его аналитическое исследование затруднительно. Мы приведем здесь лишь данные в [136] результаты просчета на ЭВМ функции

по формуле (3) при некоторых фиксированных значениях параметров

На рис. 148 в плоскости представлены кривые просчитанные при соответственно для:

а) (штриховая линия);

б) (сплошная линия);

в) (штрихпунктирная линия).

Значения k, при которых проводился счет, указаны на рис. 148.

Рис. 148

Из рассмотрения графиков кривых, соответствующих видно, что система (1) при малых к имеет один устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр (в верхней части цилиндра). При увеличении к кривая сдвигается вниз и при некотором значении к касается оси Это, очевидно, означает, что из уплотнения траекторий появляется полуустойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, который при дальнейшем увеличении к разделяется на два — устойчивый (нижний) и неустойчивый (верхний). Для значения при дальнейшем увеличении к устойчивый цикл влипает в петлю сепаратрисы, охватывающей цилиндр (это происходит, когда левый конец кривой лежит на оси а затем оставшийся неустойчивый предельный цикл сливается с устойчивым и этот двукратный цикл затем исчезает (это имеет место, когда максимум кривой попадает на ось При сначала самый верхний устойчивый цикл сливается с неустойчивым, получившийся двукратный цикл исчезает, а затем, при дальнейшем возрастании k, оставшийся устойчивый цикл влипает в сепаратрису. При и малых к имеется устойчивый предельный цикл, который при увеличении к влипает в сепаратрису (охватывающую цилиндр). При достаточно больших к во всех рассмотренных случаях система (1) не имеет циклов, охватывающих цилиндр.

Из наличия указанных бифуркаций очевидно, что в рассматриваемой задаче в пространстве параметров заведомо существуют

три бифуркационные поверхности: две — соответствующие двукратным циклам (охватывающим цилиндр) и одна — сепаратрисе, идущей из седла в седло.

Пример 2 (исследование уравнения движения самолета методом Понтрягина [33]). Введем в уравнения движения самолета (см. § 3 гл. 14) новое переменное и малое полагая

Тогда система (1) § 3 гл. 14 может быть записана в виде

где

т. е. при мы получаем консервативную систему.

По смыслу задачи рассматриваются лишь значения Траектории этой системы изображены на рис. 149.

Рис. 149

Замкнутым кривым, охватывающим состояние равновесия, соответствуют значения а охватывающим цилиндр — значения

Самому состоянию равновесия типа центра соответствует значение . В точках седла.

При в точках по-прежнему седла, и среди сепаратрис этих седел, как и при есть части оси Кроме того, в этом случае, очевидно, существует еще одно состояние равновесия, координаты которого удовлетворяют соотношениям

Отсюда

Так как то, очевидно, в выражении (7) мы должны взять знак перед корнем (при малых будет и подкоренное выражение больше Таким образом, после элементарных преобразований мы получаем для третьего состояния равновесия

В силу того, что при состояние равновесия центр, т. е. для него то, очевидно, и при достаточно малых для состояния будет фокус.

Отметим еще, что для значений параметра, при которых сепаратриса идет из седла в седло, одновременно образуется два замкнутых контура из сепаратрис (среди которых есть части оси контур, охватывающий состояние равновесия, и контур, охватывающий цилиндр. От первого из этих контуров может появиться предельный цикл, охватывающий состояние равновесия, а из второго — охватывающий цилиндр.

В согласии с методом Понтрягина для решения вопроса о циклах, охватывающих состояние равновесия, рассматриваем функцию

где двойной интеграл распространен на площадь, ограниченную кривой при

Для решения вопроса о циклах, охватывающих фазовый цилиндр, рассматриваем выражение

где у определяется из уравнения (см. гл. 12) при

Функции и мы доопределим по непрерывности до значения соответствующего сепаратрисе (консервативной системы), и доопределенную таким образом функцию будем обозначать через Все дальнейшее посвящено изучению возможного характера функции при разных k.

Мы можем записать выражения для в одинаковом виде.

Действительно, так как из (5)

то, очевидно, мы имеем, как нетрудно видеть,

где корни уравнения

(при ),

Геометрический смысл представлен на рис. 150.

Интегрируя стоящий в выражении интеграл по частям, мы получим

Или

К аналогичному виду преобразуется и выражение для -Действительно, из (5) мы имеем

Очевидно, получаем

(здесь положительный корень уравнения положительный корень уравнения которое получается, если в подставить

Рис. 150

Зависимость корней от изображена на рис. 151. (Часть кривой (начинающейся в точке А), лежащая слева от оси ординат, соответствует значениям т. е. замкнутым кривым, охватывающим центр; часть этой кривой, лежащая справа от оси ординат, соответствует т. е. кривым, охватывающим цилиндр (см. рис. 151).)

Подкоренное выражение в знаменателе, очевидно, может быть записано в виде

Так как пределы интетралов в (12) и в (13) являются корнями подкоренного выражения, то оба эти интеграла несобственные, но, очевидно, оба сходящиеся, так как они могут быть представлены в виде

и соответственно

Рис. 151

Выражения для отличаются только видом аналитической зависимости от нижнего предела интеграла. Так как

то равны предельные значения и при , и мы можем рассматривать эти функции как значения одной и той же непрерывной функции определенной для всех Нетрудно найти значение : оно просто выражается через значение гамма-функции; так как то находим из

Покажем теперь, что: 1) (независимо от ); 2) для любого к можно выбрать столь большое А, что будет отрицательно.

При в (12) не только длина промежутка интегрирования но также числитель и знаменатель стремятся к

нулю. Преобразуем поэтому (12) с помощью подстановки отображающей интервал изменения у на интервал новой переменной Знаменатель в (12) можно представить в виде

— отрицательный корень уравнения Поэтому

Так как и при стремятся к единице и знаменатель остается положительным, а то, следовательно, если

Чтобы оценить значение при больших А, обратимся к выражению (10)

и заметим, что минимум кривой (см. рис. 150), определяемый в зависимости от уравнением неограничено возрастает с возрастанием А (см. рис. 151). Таким образом, при фиксированном к для достаточно больших подынтегральное выражение становится отрицательным, т. е.

Сопоставляя этот результат с выражением для можем заключить, что для тех значений к, при которых всегда существует по крайней мере один положительный корень уравнения

Для более подробного изучения поведения найдем Функцию к) удобно для этого взять в виде

Тогда получим

Так как и -положительные корни уравнения (которое получается, если в уравнение (5) подставить то, очевидно, находя производные как производные от неявной функции, мы получим

Эти выражения конечны для всех

Выражение (15) дает значение для Для получаем, дифференцируя (10),

Последнее выражение, разумеется, можно было бы преобразовать к виду, совершенно аналогичному (15) (с заменой только на переходя к переменной у.

Выражения (15) и (16) определяют в интервалах — Нетрудно показать, что для

Найдем также предельное значение при Преобразуя опять (16) подстановкой

и замечая, что

и, следовательно, а также, что получаем

Выражения (15) — (18) определяют при как однозначную непрерывную функцию в интервалах

принимающую при малых положительное значение.

Уравнение

можно рассматривать как уравнение кривой в плоскости Разрешая уравнение (19) относительно к (что, очевидно, возможно, принимая во внимание выражение для будем на плоскости рассматривать эквивалентную (19) кривую

Функция определена для всех , за исключением Изучение поведения кривой (или, что то же, кривой (19)) будет иметь для изучения поведения кривой основное значение. Воспользовавшись опять преобразованием

представим функцию для значений в виде

а для в виде

В обоих случаях к при но точка не принадлежит кривой (предельные значения при перемене знака переходят от — проходя через значение —

Для дальнейшего исследования привлечено численное интегрирование.

Численным интегрированием устанавливается, что функция определенная формулой (21), есть монотонная (убывающая) функция при значениях —

Для значений из выражения (21) численным интегрированием устанавливается монотонный характер функции для тех значений при которых

Монотонный характер возрастания при тех значениях при которых к 3, следует из выражения для Именно, после надлежащих вычислений можно получить следующее выражение для

Это выражение заведомо положительно для к 3, так как для будет

График кривой представлен на рис. 152. Уравнения (21) и (22) дают для каждого то значение которому соответствует кривая ко) в плоскости имеющая экстремум при

Рис. 152

Так как монотонная функция каждом из интервалов очевидно, для каждого фиксированного кривая в плоскости может иметь не более одного экстремума в каждом из интервалов (иначе различным соответствовало бы одно значение это невозможно в силу монотонности Рассмотрим возможные случаи поведения для различных значений параметра.

1) . Так как в этом случае в интервале — (множитель к в (12) положителен), то в этом интервале нет ни одного корня Так как для достаточно больших отрицательно, всегда существует корень в интервале Этот корень единственный, так как может иметь здесь только один экстремум (максимум).

2) . В этом случае В интегвале — функция имеет один экстремум (минимум), в интервале функция имеет один экстремум (максимум). В каждом из интервалов имеет по одному корню.

3) (к «достаточно близко» к значению Здесь опять но и для достаточно малых В интервале функция не имеет корней. Если лежит достаточно близко к значению при котором проходит через начало координат, то кривая должна пересекать для положительных ось Так как для достаточно больших будет то должен существовать и второй корень функции Таким образом, в интервале функция имеет два корня (не может быть более двух корней, так как имеет один экстремум).

Рис. 153

4) . В интервале опять нет корней. В интервале также их нет, так как по самому определению величины к только для значений кривая к), пересекающая ось в точке с отрицательной ординатой, пересекает далее ось Существование такого значения следует из того, что для будет для малых не имеет действительных корней.

Рассмотренные случаи поведения изображены на рис. 153. Из выражений (9) и (10) следует также, что для всех А, отличных от нуля. Отсюда следует, что образует для в плоскости семейство непересекающихся кривых, непрерывно зависящих от параметра А. Это обстоятельство позволяет легко проследить зависимость корней

Для существует единственный положительный корень С убыванием А этот корень убывает.

При ось становится касательной к кривой в точке и при дальнейшем убывании от корня отделяется корень, возрастающий с убыванием k. Этот корень с убыванием к продолжает дальше возрастать, проходит при через значение и затем становится положительным. При для положительного оба положительных корня сливаются и при дальнейшем убывании к исчезают.

Отрицательные корни соответствуют неустойчивым предельным циклам, охватывающим состояние равновесия (так как, как легко убедиться, для них

Положительные корни соответствуют предельным циклам, охватывающим цилиндр. Легко убедиться, что меньший корень соответствует неустойчивому, а больший — устойчивому предельному циклу (это обстоятельство вполне наглядно отражено на рис. 153). Для меньшего корня для большего

Корень соответствует влипанию предельного цикла в сепаратрису, идущую из седла в седло. При этом значении происходит превращение цикла, охватывающего состояние равновесия, в предельный цикл, охватывающий цилиндр.

Слияние положительных корней при соответствует слиянию устойчивого и неустойчивого циклов в один полуустойчивый предельный цикл.

На основании проведенного рассмотрения мы можем сделать следующее заключение о возможной качественной структуре разбиения на траектории.

а) Состояния равновесия. При но достаточно малом, состояния равновесия в точках остаются простыми седлами. Состояние равновесия в точке превращается в фокус — устойчивый, если неустойчивый, если

б) Поведение сепаратрис. Сепаратрисы, связанные с седлами в точках могут идти из седла в седло только при значении параметра к, соответствующем «влипанию» предельного цикла в сепаратрису; в других случаях сепаратрисы могут иметь своими предельными точками либо состояние равновесия либо предельные циклы, либо могут уходить в бесконечность. Поведение сепаратрис однозначно определяется характером и распределением циклов.

в) Предельные циклы. Поведение предельных циклов определяется поведением корней функций к) в зависимости от к (напомним, что где К пропорционально тяге пропеллера, коэффициенту лобового сопротивления).

На рис. 154, 1—7 изображены возможные случаи разбиения фазового пространства на траектории. Рис. 154,1 соответствует

случаю (отсутствует лобовое сопротивление и тяга пропеллера). Последовательность рисунков от 2 до 7 соответствует последовательной смене качественных структур разбиения цилиндра на траектории при возрастании параметра к от нуля до (рис. 4а и 4б топологически эквивалентны; рис. 46 иллюстрирует превращение рис. 4а в рис. 5), т. е. при различных соотношениях между величиной силы тяги пропеллера и лобового сопротивления.

Рис. 154 (см. скан)

Заметим еще, что все рисунки для наглядности даны со значительным количественным искажением масштаба. Точки нарисованы схематично.