§ 2. Смена качественных структур при изменении параметров.

Рассмотрим подробно случай, когда правые части системы содержат один параметр X, так что система имеет вид

Пусть значение является бифуркационным, а все достаточно близкие к значения соответствуют грубым системам (причем качественные структуры грубых систем при и различны). Рассмотрим сначала (как и в гл. 10) случай, когда значению соответствует система первой степени

негрубости, т. е. когда система имеет один из негрубых особых элементов следующего характера (см. гл. 9, 10): I. Двукратное состояние равновесия седло-узел.

II. Сложный фокус первого порядка.

III. Двойной предельный цикл.

IV. Сепаратрису, идущую из седла в седло, причем в случае, когда она идет из седла в то же седло (образует петлю), седловая величина не равна нулю:

Рассмотрим последовательную смену качественных структур в некоторой достаточно малой окрестности -окрестности, где надлежащим образом подобранная величина) негрубого особого элемента в каждом из указанных случаев; значения X рассматриваются в достаточно малом промежутке и при этом X изменяется от значений к значениям Величина подбирается так, чтобы в -окрестности рассматриваемого особого негрубого элемента типа I—IV не лежал целиком больше ни один особый элемент системы а так, чтобы при значениях было единственным бифуркационным значением. Величины имеют тот же смысл, что и в предложениях гл. 10.

Отметим еще, что в случае, когда система при является системой первой степени негрубости, смена качественных структур в окрестности негрубого особого элемента (типа I—IV) однозначно определяет смену качественных структур во всей области определения системы При система имеет двукратное состояние равновесия седло-узел О (т. е. состояние равновесия, для которого и величина

Возможны следующие случаи смены качественных структур:

а) При в окрестности О нет ни одного состояния равновесия, при появляется седло-узел (из «сгущения траекторий»), при седло-узел разделяется на седло и узел.

б) При в окрестности О находятся два грубых состояния равновесия (седло и узел), при они сливаются в сложное двукратное состояние равновесия седло-узел, которое при исчезает (см. рис. 99 гл. 10, а также рис. 119 гл. 13).

II. При система имеет сложный фокус первого порядка (т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями

и первой ляпуновской величиной, отличной от нуля (см. § 5 гл. 3):

При всех достаточно близких к X значениях в -окрестности сложного фокуса существует грубый фокус который при изменении X от значений к значениям из устойчивого делается неустойчивым.

Таким образом, если характеристические корни фокуса то при всех

при

В зависимости от знака т. е. в зависимости от того, является ли сложный фокус устойчивым или неустойчивым, возможны следующие случаи смены качественных структур в окрестности

При всех (достаточно близких к в -окрестности существует устойчивый фокус (т. е. при и не существует ни одной замкнутой траектории.

При переходе через значение из сложного устойчивого фокуса появляется единственный устойчивый предельный цикл, а фокус при делается неустойчивым (т. е. при (см. рис. 117 гл. 13);

б) . При всех в -окрестности существует устойчивый фокус окруженный неустойчивым предельным циклом.

При этот неустойчивый предельный цикл сжимается и при влипает в состояние равновесия которое теперь является неустойчивым фокусом. При фокус становится грубым неустойчивым При в окрестности нет предельных циклов (см. рис. 118 гл. 13).

При обратном изменении X (от значений к значениям смена качественных структур, очевидно, происходит в обратном порядке.

Не представляет также труда совершенно аналогично описать смену качественных структур, когда при изменении X от значений к значениям фокус из неустойчивого делается устойчивым.

Замечание 1. Из проведенного рассмотрения очевидно следует, что сведений о смене устойчивости фокуса (т. е. знания

того факта, что фокус из устойчивого делается неустойчивым) недостаточно для однозначного заключения о происходящей смене качественных структур (так как при этом может быть либо случай а), либо случай б): для этого необходимы еще дополнительно сведения об устойчивости или неустойчивости сложного фокуса при о знаке ляпуновской величины

Замечание 2. Значения ко, при которых состояние равновесия типа «узел» сливается с седлом (при к ко, образуя при седло-узел), а также значения при которых устойчивый при фокус делается сложным, а затем неустойчивым (при естественно рассматривать как граничные для области устойчивости, а условия или как нарушение условий Раута — Гурвица (отрицательности действительных частей характеристического уравнения (см. § 4 гл. 13)).

III. При системы существует двойной предельный цикл т. е. такой предельный цикл, для которого в функции последования, построенной на дуге без контакта, проведенной через какую-нибудь его точку

и, следовательно,

Тогда при переходе от значений к значениям в -окрестности возможны следующие два случая смены качественных структур:

а) При в -окрестности нет ни одной замкнутой траектории. При появляется двукратный предельный цикл (из уплотнения траекторий), который затем при разделяется на два грубых предельных цикла — устойчивый и неустойчивый (см. рис. 100 гл. 10).

б) При в -окрестности существует два грубых предельных цикла, из которых один устойчивый, а другой неустойчивый. При ко эти циклы сближаются, и при сливаются в двукратный предельный цикл, который при исчезает.

Замечание 3. Если мы знаем, что у рассматриваемой системы при значении существует двукратный предельный цикл, то, как мы видели, вопрос о возможной смене качественных структур решается элементарно.

Однако вопрос об установлении факта появления двукратного предельного цикла (он появляется из уплотнения траекторий), об установлении отсутствия такого появления является одной из наиболее сложных задач теории бифуркаций, для решения которой в настоящее время нет сколько-нибудь общих методов (или приемов). Если не доказано (методом Дюлака, использованием топографической системы или еще каким-либо частным приемом) отсутствия предельных циклов, то мы, вообще говоря, не имеем никаких оснований для того, чтобы утверждать отсутствие любого числа двукратных предельных циклов, а следовательно, и любого четного числа предельных циклов. Мы не можем также (без дополнительных специальных сведений о правых частях) ни утверждать, что при изменении параметра к не появляются двукратные предельные циклы, ни утверждать их появление. Правда, иногда косвенным рассуждением появление двукратных циклов удается показать (см. гл. 16).

IV. При о У системы существует сепаратриса идущая из седла в седло.

Рассмотрим случай, когда сепаратриса седла образует петлю. В силу предположения о первой степени негрубости системы при седловая величина

В этом случае возможны следующие две смены качественных структур:

а) Пусть При всех в -окрестности седла лежит седло Все сепаратрисы седла выходят из -окрестности петли одни — при возрастании другие — при убывании Все отличные от и от сепаратрис траектории системы проходящие через -окрестность выходят из этой окрестности и при возрастании, и при убывании

При две из сепаратрис седла сближаются и при совпадают в одну сепаратрису образующую устойчивую (неустойчивую) петлю. При сепаратриса разделяется на две — (с другим взаимным расположением, чем и при этом из петли рождается единственный устойчивый (неустойчивый) предельный цикл.

б) При всех в -окрестности седла лежит седло и единственный устойчивый (неустойчивый) предельный цикл на который накручивается одна из -сепаратрис седла сепаратриса При с сепаратрисой сближается -сепаратриса седла -сепаратриса при сепаратрисы совпадают с сепаратрисой образующей петлю, предельный цикл при этом «влипает» в сепаратрису При сепаратриса разделяется на две (без рождения предельного цикла) (см. рис. 101, 102 гл. 10).

Замечание 4. Подчеркнем тот факт (он часто используется в дальнейшем рассмотрении конкретных задач), что устойчивый (неустойчивый) предельный цикл может родиться только из устойчивой (неустойчивой) петли, в которой и влипнуть только в петлю, в которой

Случай, когда сепаратриса при идет из одного седла в другое, мы предоставляем рассмотреть читателю (см. рис. 91 гл. 8).

Рис. 106

Рассмотрим еще два часто встречающихся в задачах случая (которые по недоразумению часто путают со случаями II и IV).

V. Рассмотрим случай смены устойчивости фокуса без рождения предельного цикла, когда бифуркационному значению параметра соответствует консервативная система.

Пусть при состояние равновесия является центром (рис. 106, а), при состояние равновесия (лежащее в -окрестности является устойчивым фокусом (рис. 106, б), а при -неустойчивым фокусом (рис. 106, в).

Тогда при переходе от значений к значениям смена устойчивости фокуса может осуществляться без рождения предельного цикла. Простейший пример такой бифуркации дает линейная система вида

Если: при при при то мы, очевидно, получаем смену качественных структур, представленную на рис. 106, и очевидно, без рождения предельного цикла.

VI. Рассмотрим случай разделения сепаратрисы без рождения предельного цикла, когда значению параметра соответствует консервативная система.

Пусть при системы сепаратриса седла образует петлю, причем все траектории в окрестности петли замкнуты (рис. 107, а).

Рис. 107

(В этом случае, очевидно,

Тогда возможна смена качественных структур, представленная на рис. 107 (при и сепаратрисы (рис. 107, б) и соответственно (рис. 107, в) различно расположены, но при этом ни при ни при не рождается предельный цикл).