ГЛАВА 15. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА)

§ 1. Общие замечания.

В связи с использованием метода Понтрягина сделаем сначала некоторые замечания общего характера.

Рассмотрим систему, близкую к консервативной (линейной или нелинейной):

где

— консервативная система и

— ее интеграл.

Относительно консервативной системы предположим дополнительно, что у нее только простые состояния равновесия, т. е. только седла и центры. В § 7 гл. 11 было дано условие, необходимое для того, чтобы у системы при малых существовал предельный цикл, близкий к некоторой кривой (уравнение кривой системы (т. е. предельный цикл при стремящийся к Это условие заключается в равенстве нулю при функции

Достаточное условие существования такого предельного цикла — это

Функция в § 7 гл. 11 была определена только в случае кривой консервативной системы, ни в одной точке которой обе производные и Ну одновременно не

обращались в нуль, т. е. в случае, когда кривая не проходит через седло и не вырождается в точку (центр).

Однако при рассмотрении конкретных примеров часто представляет интерес также и рассмотрение вырожденных случаев, т. е. случаев, когда предельный цикл системы рождается от петли сепаратрисы и из центра. Кроме того, обычно при рассмотрении конкретных задач функции и зависят от параметров, отличных от и естественно возникает вопрос: от каких из кривых рождается предельный цикл системы при различных значениях этих параметров?

Поэтому в конкретных задачах (как это будет проиллюстрировано на примерах) исследование методом Понтрягина проводится следующим образом.

Функция непосредственно определенная лишь для значений соответствующих интегральным кривым без особенностей (отличным от состояний равновесия и сепаратрис), доопределяется по непрерывности (когда это возможно) и для значений соответствующих центрам и сепаратрисам.

Предположим, что функция доопределена для всех значений и пусть функции р(х, у) и зависят от некоторых параметров, например от двух параметров Очевидно, тогда и функция также будет зависеть от этих параметров:

Естественно при рассмотрении вопроса о циклах системы сводящегося к рассмотрению нулей функции выделить следующие «бифуркационные» (в полном согласии с ранее введенным смыслом этого термина) случаи и соответствующие им бифуркационные значения параметров

1) Пусть при значении соответствующем интегральной кривой системы не имеющей особенностей, выполняются равенства

В этом случае от кривой консервативной системы может появиться более одного предельного цикла (в простейшем случае два).

2) Пусть значение при котором

соответствует вырожденной в точку кривой консервативной системы. В этом случае предельный цикл рождается (при из состояния равновесия типа центра консервативной системы.

3) Пусть значение при котором

соответствует сепаратрисе консервативной системы. В этом случае предельный цикл системы может рождаться из петли сепаратрисы консервативной системы.

В дальнейшем при рассмотрении конкретных примеров естественным образом будут выделяться указанные бифуркационные значения параметров

Подчеркнем, что при использовании методов малого параметра (метода Пуанкаре или метода Понтрягина) не дается никаких оценок для тех значений при которых у системы существуют предельные циклы.

Этим методом можно получить лишь доказательство существования таких значений («достаточно малых», но без всякой оценки малости), при которых система имеет предельный цикл.

Кроме того, при доказательстве существования такого, что при существует предельный цикл, родившийся от одной или нескольких кривых консервативной системы, предполагается, что рассматривается ограниченная часть плоскости (без этого предположения доказательство теряет смысл). Если же необходимо рассмотреть всю плоскость, то нужно специально рассматривать рождение предельных циклов из бесконечности.

Заметим еще, что так как в конкретных задачах выражения для функции и ее производных бывают столь сложны, что их аналитическое исследование представляется невыполнимым, то часто в задачах используется построение этой функции вычислительным путем. Это сделано в примерах § 3.