§ 11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы.

Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать различие между собственной, или локальной, окрестностью состояния равновесия и областью, которая уже не является собственной окрестностью состояния равновесия. На рис. 30, а область внутри окружности, содержащая одно только состояние равновесия, очевидно, не является его собственной окрестностью, в то время как на рис. 30, б соответствующая область является собственной окрестностью состояния равновесия.

Определение. Мы скажем, что изолированное состояние равновесия О имеет определенный характер (или определенную

топологическую структуру), если существует такая окрестность и точки О, не содержащая других состояний равновесия системы (А), что, сколь малое мы бы ни взяли, можно указать такую область и, целиком лежащую в -окрестности О, и такое топологическое отображение и на и, при котором траектории отображаются в траектории.

Рис. 30

Всякая область и, обладающая указанными в приведенном выше определения свойствами, называется собственной окрестностью состояния равновесия.

Как и всюду выше, предположим, что число особых траекторий рассматриваемой системы (А) в случае, когда система определена в ограниченной области, конечно в этой области, а в случае, когда эта система определена на всей плоскости, конечно во всякой ограниченной области плоскости.

Установим при этом предположении возможный характер собственной окрестности состояния равновесия.

Из теоремы 7 при сделанном предположении следует:

Если в любой сколь угодно малой окрестности состояния равновесия О лежит замкнутая траектория, то все траектории,

проходящие через точки некоторой достаточно малой окрестности О, замкнуты.

Состояние равновесия в этом случае называется центром.

Рассмотрим случай, когда в любой сколь угодно малой окрестности состояния равновесия О нет замкнутых траекторий. Пусть окружность с центром в точке О столь малого радиуса что внутри 10, кроме О, не лежит целиком ни одна особая траектория.

Можно показать, что всякая положительная или отрицательная полутраектория, целиком лежащая внутри такой окружности. стремится к состоянию равновесия О.

Если существует окружность радиуса такая, что все траектории, проходящие через точки внутри некоторой окружности С радиуса при не выходя из С, стремятся к состоянию равновесия О, а при убывании (возрастании) выходят из С, то состояние равновесия О называется топологическим узлом.

Узел в примере 3 и фокус в примере 4 являются топологическими узлами.

Рис. 31

Теорема 17. Если состояние равновесия О есть топологический узел, то в любой сколь угодно малой его окрестности можно указать цикл без контакта, содержащий это состояние равновесия внутри.

Рассмотрим состояние равновесия, не являющееся топологическим узлом.

Предположим, что существует траектория которая, не выходя из окружности С, стремится к состоянию равновесия при и при

Пусть замкнутая кривая, состоящая из траектории и точки О (рис. 31). Нетрудно показать, что всякая траектория проходящая через точку внутри стремится при к состоянию равновесия О и вместе с точкой О образует простую замкнутую кривую При этом каждая из двух областей, ограниченных двумя различными такими кривыми лежит одна внутри другой.

Область, ограниченная кривой называется эллиптической или замкнутой узловой областью и обозначается через Две эллиптические области считаются различными, если они лежат одна вне другой.

Рассмотрим теперь две стремящиеся к состоянию равновесия полутраектории имеющие точки вне окружности С (каждая из этих полутраекторий может быть как положительной, так и отрицательной) (рис. 32 и 33).

Пусть соответственно последние общие точки этих полутраекторий с окружностью С (так что часть

полутраектории и часть полутраектории уже не имеют общих точек , кроме

Рассмотрим область а, граница которой состоит из части полутраектории и части полутраекторпп точки О и той из дуг окружности С с концами на которой направление от точки является движением против часовой стрелки на С.

Будем область а называть областью (сектором) между полутраекториями При этом: 1) область а между полутраекториями будем называть гиперболической или седловой областью (сектором) и обозначать через если через все точки этой области проходят траектории, как при возрастании, так и при убывании выходящие из а.

Рис. 32

Рис. 33

В этом случае являются, очевидно, сепаратрисами состояния равновесия, причем одна из них стремится к О при а другая — при (см. рис. 27, где под понимается полутраектория а под полутраектория ). 2) Область а между полутраекториями называется параболической или открытой узловой областью (сектором), если через все точки этой области, лежащие внутри некоторой достаточно малой окружности С (С лежит внутри С), проходят траектории, которые при не выходя из а, стремятся к состоянию равновесия О, а при убывании (возрастании) выходят из а.

Если при этом нет другой узловой области (сектора), содержащей рассматриваемую, у которой по крайней мере одна из полутраекторий является внутренней, то область между полутраекториями назовем целым открытым узловым сектором или параболической областью (сектором) и будем обозначать через N (рис. 34). Далее, говоря о целых открытых узловых областях (секторах), мы будем опускать слово «целые».

Рис. 34

Рис. 35

Мы будем говорить, что сепаратрисы являются продолжением одна другой, если они ограничивают один и тот же гиперболический сектор.

Если у данного состояния равновесия существует замкнутая узловая эллиптическая область, то непременно существуют также две содержащиеся внутри С параболические области, «сопровождающие» эту замкнутую область. Эти области непосредственно примыкают к замкнутой узловой области, образованы частями «перерезанных» окружностью траекторий замкнутой узловой области (рис. 35).

Следующие предложения имеют простой геометрический смысл.

I. Траектории двух различных (т. е. лежащих одна вне другой) эллиптических областей принадлежат различным элементарным ячейкам.

II. Если существует эллиптическая область, примыкающая к состоянию равновесия О, то к нему примыкает по крайней мере еще одна эллиптическая или гиперболическая область.

III. Между двумя различными эллиптическими областями состояния равновесия всегда существует стремящаяся к этому

состоянию равновесия особая траектория (которая может и не быть сепаратрисой данного состояния равновесия).

Теорема 18. Всякая достаточно малая окрестность состояния равновесия О системы (А), не являющаяся центром или топологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических (замкнутых узловых), параболических (узловых) и гиперболических (седловых) областей (в частных случаях области некоторых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно одна к другой, а также из точек траекторий, отделяющих эти области одну от другой и из точки О (рис. 36).

Рис. 36

Следствие 1. Все достаточно малые окрестности данного состояния равновесия разделяются на одно и то же число эллиптических, параболических и гиперболических областей.

Следствие 2. В случае, когда у системы (А), определенной в ограниченной области плоскости, имеется конечное число особых траекторий, всякое состояние равновесия этой системы имеет определенную топологическую структуру.

Вернемся к определению качественной структуры динамической системы в целом. Как уже было указано, для этого необходимо иметь следующие сведения:

1) характер (топологическую структуру) состояний равновесия динамической системы — это даст, в частности, сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия;

2) число и взаимное расположение предельных континуумов, в частности предельных циклов;

3) расположение сепаратрис, не входящих в предельные континуумы.

Перечисленные здесь сведения называются схемой разбиения на траектории динамической системы, а все указанные сведения — элементами схемы. Схема может быть записана специально введенными символами, описывающими все указанные в перечисленных пунктах сведения, однако на плоскости схему проще и естественнее описать схематическим рисунком, на котором намечены: поведение траекторий в окрестности состояний

равновесия, предельные континуумы с их расположением и ход сепаратрис. Во всех рассмотренных далее примерах схема задается схематическим рисунком (иногда только с точностью до четного числа предельных циклов). Можно показать, что введенная схема полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории и, следовательно, определяет также расположение ячеек и поведение траекторий в каждой ячейке.

Установленные в настоящей главе типы траекторий и, в частности, особых траекторий возможны лишь у динамических систем (потоков) в плоской области и на сфере. При рассмотрении динамических систем (потоков) на замкнутых двумерных поверхностях (конечного рода) возможны еще другие типы траекторий (незамкнутые самопредельные) (см. дополнение).