§ 6. Особые и неособые полутраектории и траектории.

Рассмотрение конкретных частных примеров динамических систем естественно приводит к мысли, что для знания топологической структуры разбиения на траектории нужно знать взаимное расположение не всех траекторий, а лишь некоторого конечного числа особых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими траекториями являлись состояния равновесия, замкнутые траектории и сепаратрисы седел. Естественно возникает вопрос о том, исчерпываются ли этими типами особые траектории и как в общем случае эти особые траектории могут быть охарактеризованы. Эти вопросы рассматриваются в настоящем параграфе.

Пусть — какая-нибудь положительная полутраектория, выделенная на траектории В дальнейшем рассматривается -окрестность полутраекторпи. Эта окрестность, как легко видеть, непременно содержит -окрестность предельного множества этой полутраектории.

Определение. Будем говорить, что положительная полутраектория орбитно-устойчива, если при любом заданном можно указать такое что у всякой траектории проходящей при через любую точку принадлежащую -окрестности полутраектория (точки которой соответствуют значениям целиком лежит в -окрестности полутраектории

Справедлива следующая

Теорема 8. Если у траектории хотя бы одна положительная полутраектория орбитно-устойчива, то всякая другая положительная полутраектория, выделенная из этой траектории, такзюе будет орбитно-устойчивой.

Траектория называется тогда -орбитно-устойчивой или орбитно-устойчивой при

Полутраектории или траектории, не являющиеся орбитно-устойчивыми при называются орбитно-неустойчивыми при или -орбитно-неустойчивыми.

Если траектория орбитно-неустойчива при и какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое что при любом сколь угодно малом найдется траектория проходящая при через точку -окрестности точки и заведомо выходящая при некотором из -окрестности полутраектории

Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относительно отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем также говорить о траектории, орбитно-устойчивой при или -орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-неустойчивой при или -орбитно-неустойчивой. Траектория орбитно-устойчивая как при так и при называется просто орбитно-устойчивой или неособой. Всякая траектория, не являющаяся орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой или особой. Кроме того, особой траекторией будем считать и всякое состояние равновесия.

Таким образом, особая траектория, не являющаяся состоянием равновесия, непременно орбитно-неустойчива хотя бы «в одну сторону», т. е. она может быть орбитно-неустойчивой при или орбитно-устойчивой при или орбитно-неустойчивой и при и при

Свойство орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям.

Пример. Геометрически очевидно, что всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узла или фокуса, орбитно-устойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми, траекториями очевидно будут траектории, стремящиеся при к узлам или фокусам или при стремящиеся к узлу, а при к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при и при

Очевидно, имеет место следующая

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые.