§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения.
I. Неподвижная точка 
точечного отображения 
устойчива, если
и неустойчива, если
Если 
то вопрос об устойчивости неподвижной точки определяется высшими производными.
Рассмотрим так называемую диаграмму Ламерея: именно, рассмотрим вспомогательную плоскость 
на ней график функции 
и биссектрису 
(рис. 60). Точки пересечения кривой 
с биссектрисой 
очевидно, соответствуют неподвижным точкам точечного отображения 
Рис. 60
Условия 
геометрически означают тот или другой характер пересечения кривой 
с биссектрисой 
в неподвижной точке 
Если 
то это означает, что кривая 
касается биссектрисы в точке 
(рис. 61 и 62).
II. Пусть 
Тогда неподвижная точка изолирована, т. е. существует такое 
что при всех 
кроме 
точечного отображения 
нет больше неподвижных точек и при этом:
а) если к нечетное, то в случае 
неподвижная точка 
устойчива, а в случае 
неустойчива;
б) если к четное, то неподвижная точка полуустойчива, т. е. в зависимости от знака 
при 
достаточно близком к 
точки 
стремятся
к 
а при 
уходят от 
иначе, к 
стремятся последовательные «предыдущие» точки).
III. Если 
при всех k, то все точки 
также являются неподвижными. В этом случае
и точечным отображением является
Отметим, что для построения на диаграмме Ламерея последовательных последующих даннойточки: 
нужно построить так называемую лесенку Ламерея, в построении которой нетрудно разобраться (см. рис. 60 и 61).
Рис. 61
Рис. 62
В дальнейшем мы будем также часто пользоваться вспомогательной функцией
Очевидно, если
то 
соответствует неподвижной точке и при этом устойчивой, если 
и неустойчивой, если 
