§ 7. Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых (двумерных) динамических систем.

При изложении теории грубых систем весьма естественно и удобно ввести пространство динамических систем. Именно, рассмотрим всевозможные динамические системы, правые части которых определены в данной ограниченной замкнутой области и являются в этой области аналитическими функциями Введем пространство, точками которого являются такие динамические системы. Расстоянием между двумя точками этого пространства, т. е. между точками, соответствующими динамической системе

и динамической системе

будем считать максимум модуля выражений

Будем введенное пространство обозначать через Очевидно, динамические системы, -близкие к данной динамической системе (А), соответствующей точке пространства соответствуют точкам лежащим на расстоянии, меньшем от точки

Воспользовавшись введенным пространством Да, можно сформулировать теорему 13 в следующей геометрической форме.

Если динамическая система (А), соответствующая точке пространства является грубой, то и все точки некоторой окрестности точки соответствуют грубым динамическим системам (с той же качественной структурой).

Отсюда очевидно следует, что грубые динамические системы заполняют области пространства динамических систем. Однако можно доказать еще более сильное утверждение. Будем рассматривать в пространстве динамических систем всевозможные системы, как грубые, так и негрубые. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 14. Если -негрубая система, то при любом можно указать -близкую к системе (А) систему (А), являющуюся грубой.

Из этой теоремы очевидно вытекает, что грубые системы всюду плотны в пространстве динамических систем.

Таким образом, грубые системы можно рассматривать как наиболее простые, наиболее многочисленные динамические системы в соответствующем пространстве дипампческих систем. Действительно, грубые системы выделяются условиями тппа неравенств, и поэтому их естественно рассматривать как общий случай.

В гл. 7 целесообразность введения понятия «грубости динамической системы» оправдывалась естественными соображениями, касающимися свойств динамических систем, описывающих реальные задачи. Однако в силу указанных свойств грубых систем это понятие естественно возникает также в силу внутренней математической необходимости.