§ 14. Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы.
Для того чтобы привести соответствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую область). Топологическим отображением (или гомеоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (или области).
Если дана динамическая система (А), то она определяет (на плоскости или в рассматриваемой области плоскости) некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, некоторое разбиение на траектории.
При всевозможных топологических отображениях плоскости в себя вид траекторий данной системы (А) может сильно измениться. Но некоторые черты разбиения на траектории остаются неизменными, или, иначе, топологически инвариантными: например, замкнутая траектория продолжает быть замкнутой, незамкнутая — незамкнутой, остается число и взаимное расположение замкнутых траекторий, состояний равновесия; остается неизменным характер состояний равновесия и т. д.
Уточнение понятия качественной картины фазовых траекторий или, в другой терминологии, топологической структуры разбиения на траектории дается следующим образом.
Определение. Две топологические структуры, или, что то же, две качественные картины разбиения фазовой плоскости на
траектории (или некоторой области плоскости на траектории), заданные двумя системами вида (А), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой (при этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении).
Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории.
Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что тоже самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя.
Рис. 17
Примеры таких свойств были приведены выше.
Полное качественное исследование заключается в установлении всех таких свойств. Очевидно, можно также говорить о неполном качественном исследовании. Такое исследование может, например, заключаться в установлении характера состояний равновесия, установлении наличия хотя бы одной замкнутой траектории и т. д. Естественным образом возникает вопрос о том, что
нужно знать для полного определения качественной структуры разбиения на траектории. Этот вопрос для весьма широкого, в основном имеющего интерес для приложений, класса динамических систем рассматривается в гл. 2.
Качественное исследование динамической системы (дифференциального уравнения) нельзя рассматривать как некоторый суррогат количественного исследования, который заменяет отыскание аналитических выражений для решения в том случае, когда это трудно сделать.
Отметим, что качественное исследование динамической системы может оказать помощь при численном решении, так как оно может помочь сознательно, не вслепую разобраться в том, приближенное вычисление каких именно решений представляет интерес.
На рис. 17, а приведены две непохожие, но топологически тождественные структуры, на рис. 17, б — две похожие, но топологически различные структуры.
