§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия.
Запишем рассматриваемую систему в виде
— ряды, начинающиеся со степеней х и у не ниже второй), и при этом
Предположим, кроме того, что рассматриваемое состояние равновесия не центр, так что существует полутраектория 
при 
стремящаяся к состоянию равновесия 
Тогда 
имеет предел при 
(конечный или бесконечный) в том и только в том случае, когда имеет предел 
причем в случае существования этих пределов они равны, т. е.
При этом угловой коэффициент к удовлетворяет соотношению
т. е. квадратному уравнению
При этом, если 
то одним из корней этого уравнения считается 
т. е. одно из направлений, по которому траектории стремятся к состоянию равновесия О, есть направление оси у.
Отметим, что дискриминант квадратного уравнения (13) совпадает с дискриминантом характеристического уравнения. Поэтому в случае, когда этот дискриминант отрицателен, т. е. в случае фокуса (простого или сложного), не существует направлений, в которых траектории могут стремиться к состоянию равновесия. Нетрудно показать, что корни уравнения (13) и 
связаны с характеристическими корнями и 
соотношениями
Приведем результаты, касающиеся простых состояний равновесия в предположении, что в окрестности простого состояния равновесия система приведена к каноническому виду.
1. а) Характеристические корни действительны, различны и одинаковых знаков (узел). Система приводится к каноническому виду
В этом случае в уравнении (13) мы имеем 
следовательно, существует два значения к (напомним, что при 
мы считаем один корень равным Предположим для определенности, что 
(устойчивый узел).
Все траектории системы (14) стремятся к состоянию равновесия О в определенных направлениях, и этими направлениями являются 
При этом в направлениях 
стремятся только по одной траектории. Все остальные траектории стремятся к узлу в направлениях 
причем в каждом из этих направлений стремится бесчисленное множество полутраекторий (рис. 41).
Соответствующим образом измененное утверждение имеет место для случая 
а также для случая, когда О — неустойчивый узел 
или 
б) Характеристические корни равны 
и система может быть приведена к каноническому виду
Рис. 41
В этом случае узел называют дикритическим. В уравнении 
. В этом случае каждая траектория системы (15), стремящаяся к узлу О (при если 
и при 
если 
), стремится к нему в определенном направлении, причем для любого направления имеется в точности одна соответствующая ему полутраектория (рис. 42).
в) Характеристические корни равны 
и система может быть приведена к виду
В этом случае узел иногда называется вырожденным. В этом случае в уравнении, определяющем угловые коэффициенты направлений
как нетрудно видеть, 
оба корня этого
уравнения равны бесконечности, и мы получаем два возможных направления: 
Каждая траектория системы (16) стремится к состоянию равновесия О в определенном направлении, именно либо в направлении 
либо в направлении 
при этом имеется бесчисленное множество полутраекторий, стремящихся к О как в том, так и в другом направлении (рис. 43).
Рис. 42
Рис. 43
2. Характеристические корни действительны и разных знаков. Канонический вид системы:
Уравнение (13) (как и в случае 1) имеет один нулевой корень и один, равный бесконечности. Пусть 
Траектории (полусепаратрисы седла) стремятся к седлу О в направлениях 
При этом две полусепаратрисы стремятся к О при 
соответственно в направлениях 
две при 
в направлениях 
Во всех проведенных рассмотрениях мы предполагали, что система приведена к каноническому виду, и поэтому направления, в которых полутраектории стремились к состоянию равновесия, совпадали с направлением осей координат. Очевидно, для системы, не приведенной к каноническому виду, направления могут быть любыми в зависимости от коэффициентов системы.
В случае фокуса, простого или сложного (т. е. когда характеристические корни комплексные или чисто мнимые), корни уравнения (13) тоже комплексные, т. е. нет направлений, по которым траектории могут стремиться к состоянию равновесия. Как мы видели в § 5, в этом случае траектории — спирали.
если 
при 
если 
