65. Раскрытие неопределенностей.

Положим, что функции непрерывны при , где k — некоторое положительное число, имеют непрерывные производные и не обращается в нуль при указанных значениях Положим, кроме того, что при Полагая мы получим функции, непрерывные вплоть до х = а, т. е. при . При к частному которое при представляет собою неопределенность вида не применима теорема о пределе частного. Укажем способ раскрытия такой неопределенности, т. е. способ нахождения предела при .

Докажем предварительно следующую теорему: если при сделанных выше предположениях отношение 777 стремится к пределу b при 0, то к тому же пределу стремится и отношение функций

Принимая во внимание, что

и применяя формулу Коши [64], получим

Заметим, что при сделанных относительно предположениях применима формула Коши.

Если , то , заключающееся между а и и зависящее от стремится к а. При этом, по условию, правая часть равенства (7) стремится к пределу b, а потому и левая часть имеет тот же предел. Отметим, что этот предел может быть и бесконечным. Таким образом приходим к правилу:

При разыскании предела частного в случае неопределенности можно заменить отношение функции отношением их производных и отыскивать предел этого нового отношения.

Правило это дано французским математиком Лопиталем и называется обычно его именем.

Если отношение производных также приводит к неопределенности и функции удовлетворяют тем условиям, которые мы выше формулировали для , то и к отношению V можно применить правило Лопиталя, и т. д.

Мы рассмотрели случай . Совершенно аналогично рассматривается случай дальнейших примерах предел не зависит от того, стремится ли справа или слева, и мы пишем .

Мы рассмотрели тот случай, когда стремится к конечному пределу а. Правило справедливо и для того случая, когда стремится к бесконечности. На доказательстве этого мы не останавливаемся.

Приложим правило Лопиталя к нескольким примерам.

т. e. разность есть бесконечно малая третьего порядка по сравнению с .

Результат этого примера приводит к практически удобному способу спрямления дуги окружности.

Рассмотрим окружность, радиус которой примем за единицу. За ось ОХ выберем один из диаметров этой окружности, а за ось - касательную в конце этого диаметра (рис. 72). Возьмем некоторую дугу ОМ и пусть на оси OY имеется отрезок ON, равный дуге ОМ, и проведем прямую NM. Пусть Р — точка ее пересечения с осью ОХ. Обозначим через и длину дуги ОМ (радиус принят за единицу). Уравнение прямой NM в отрезках имеет вид:

Рис. 72.

Для вычисления длины отрезка ОР заметим, что на прямой NM лежит точка М с координатами

Эти координаты должны удовлетворять написанному уравнению:

Результат примера 3 показывает, что, при т. е. точка Р на оси ОХ будет стремиться к точке D, расстояние которой от начала координат равно утроенному радиусу окружности. Отсюда получается простой способ приближенного спрямления дуги окружности. Для спрямления дуги ОМ надо отложить от точки О отрезок OD, равный трем радиусам окружности, и провести прямую DM. Отрезок отсекаемый этой прямой на оси О К, и даст приближенно длину дуги ОМ. Способ этот приводит к очень хорошим результатам, особенно для небольших дуг; но даже для дуги относительная ошибка составляет приблизительно 5%.