2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ БАЗИСЫ

Аналогия между сигналами и векторами. Любая задача легче воспринимается, если её можно связать с каким-либо известным явлением. При математическом описании сигналы удобно рассматривать как векторы или точки в некотором функциональном пространстве — пространстве сигналов.

Электрические сигналы сложной формы по своей физической природе далеко не всегда сходны с привычными нам представлениями векторов как направленных отрезков. Тем не менее практический интерес имеет обобщение операций над векторами на сигналы (функции), описывающие различные колебания. Дело в том, что среди различных математических приёмов, используемых при исследовании электрических цепей и сигналов наиболее широко

применяется представление произвольной функции в виде суммы более простых ("элементарных") функций. Такой подход лежит в основе принципа независимости действия (суперпозиции) при изучении преобразований сигналов в линейных электрических цепях. Наглядные геометрические представления, связанные с отображением функций в качестве векторов пространства сигналов, помогают часто уяснить физическую сущность процессов формирования, передачи и разделения сигналов, синтеза оптимальных сигналов и устройств обработки сигналов при наличии помех.

Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора х трёхмерного пространства на его составляющие по координатному базису единичных ортогоншьных векторов i, j, k (рис. 2.2). Такое представление можно записать как

Составляющими вектора х по базису будут векторы к Коэффициенты представляют собой проекции вектора х на координатные оси к и называются координатами вектора х. Иначе говоря, вектор х в трёхмерном пространстве полностью определяется совокупностью его координат

Чтобы перейти к обобщению понятия вектора трёхмерного пространства для случая -мерного пространства, обратимся к примеру. Некоторое приближённое представление о функции (сигнале) можно составить по её отображению последовательностью прямоугольных импульсов, имеющих на интервалах значения (рис. 2.3). Если теперь условно представить функцию на интервале "вектором", то для его определения потребуется координат Это означает, что функцию по аналогии с (2.5) можно представить в виде суммы

где элементарные базисные функции;

Вектор х, соответствующий функции в -мерном пространстве единичных ортов будет полностью определяться его координатами

Рис. 2.2. Представление вектора х в трёхмерной ортогональной системе коордннат

Рис. 2.3. Отображение непрерывной функции последовательностью прямоугольных импульсов

Таким образом, сигнал произвольной формы представляется суммой простейших элементарных сигналов, в данном случае в виде импульсов прямоугольной формы. Слово пространство используется здесь, чтобы придать множеству сигналов геометрический смысл и тем самым наглядность. Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержательной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства.

Основные определения, относящиеся к функциональным пространствам Евклида, Гильберта, Хэмминга. Линейным или векторным называется пространство сигналов, для элементов которого выполняются правила сложения и умножения на любое число из некоторого множества ,называемое множеством скаляров). Сложение векторов производится покоординатно, т.е. суммой векторов х (функции (функции называется вектор принадлежащий данному пространству, а произведение вектора х на число X даёт вектор также принадлежащий данному пространству. В линейном пространстве существует нулевой элемент , такой, что каждому элементу х соответствует противоположный элемент так что Вектор, образованный суммированием линейно независимых (базисных) векторов со скалярными коэффициентами х, называется их линейной комбинацией

Множество векторов называется линейно независимым (базисом), если условие

выполняется лишь тогда, когда все Иначе говоря, линейно независимым называется множество для которого ни одна из его компонент не может быть образована линейной комбинацией других. Размерность линейного пространства определяется числом любых линейно независимых базисных векторов образующих это пространство. Линейно независимые векторы можно рассматривать как координатные оси пространства.

Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние между элементами (векторами) пространства (метрика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число и способ, в соответствии с которым находится это число. Расстояние удовлетворяет следующим правилам. если

где х, у, z - элементы (точки) пространства. Смысл первых двух условий очевиден. Третье условие называют неравенством треугольника, длина стороны треугольника меньше (или равна) суммы длин двух других сторон. Нормированные пространства. Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства. Этот вид пространства определяется заданием нормы удовлетворяющей следующим аксиомам:

Первая аксиома устанавливает, что норма есть положительное вещественное число, равное нулю только для нулевого вектора, во второй аксиоме — любое число (скаляр), третья аксиома — аксиома треугольника.

Начнём с перечисления терминов и определений, относящихся к -мерному вещественному евклидову пространству Любой вектор в этом пространстве определяется совокупностью его координат: Совокупность линейно независимых векторов образует «-мерное евклидово пространство, обозначаемое Пространство можно определить как множество точек, представленных концами векторов, для которых норма

Как видим, норма есть обобщение длины вектора в двухмерном и трёхмерном пространстве. Расстояние между двумя векторами х и у определяется как норма разности векторов:

Для пространства Евклида можно ввести понятие скалярного произведения двух векторов х и у:

где угол между двумя векторами. Для проекций на у и обратно, у на имеем

Координаты вектора представляют собой проекции вектора на координатные оси, аналогично (2.5). Из соотношения (2.8) вытекает очевидное неравенство

известное в литературе как неравенство Знак равенства имеет место лишь тогда, когда

(к — скаляр), т.е. когда векторы х и у коллинеарны. Для соответствующих сигналов это означает, что они совпадают по форме Квадрат выше определённой нормы вектора можно найти как скалярное произведение вектора на самого себя:

При пространство переходит в бесконечномерное пространство Гильберта, обозначаемое Гильбертовым пространством является, в частности, пространство всех непрерывных комплексных функций аргумента заданных на интервале в котором скалярное произведение определено соотношением

а квадрат нормы

Норма (2.12) имеет не только геометрический, но и отчётливый физический смысл. Так, если сигнал вещественный электрический ток в единичном сопротивлении 1 Ом, то квадрат нормы

определяет энергию сигнала. Элементы гильбертова пространства характеризуются интегрируемым квадратом, т.е. если элементы этого пространства - вещественные сигналы определенные на интервале то выполняется условие

Гильбертово пространство обозначается при этом При получаем пространство Для некоторых сигналов (функций) пространства условие (2.13) при может не выполняться, но выполняется условие

В этом случае можно вместо (2.11) ввести скалярное произведение с размерностью мощности (для токов и напряжений на единичном сопротивлении)

Квадрат нормы вектора х в этом случае

При выполнении условия (2.14) в пространстве определены и соотношения (2.15) и (2.16) при

В дальнейшем, говоря о функции с интегрируемым квадратом в пространстве имеем в виду выполнение условия (2.13) или условия (2.14) при Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном пространстве определяется соотношением

или

форму (2.18) можно использовать и при для сигналов с конечной средней мощностью.

Пространство представляет собой естественное обобщение пространства получаемое путём перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного аргумента. В курсе ТЭС пространство имеет особое значение, ибо оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и помехам, определённые как функции непрерывного аргумента. Устремляя в получаем представление непрерывной функции в пространстве Гильберта:

Операторы и функционалы. В задачах преобразования сообщений и сигналов нам потребуются некоторые обобщения функциональных зависимостей. Величина у называется функцией независимой переменной х, если каждому значению х (из множества его возможных значений) соответствует определённое значение у. Иначе говоря, функциональная зависимость устанавливает соответствие между некоторым множеством чисел х и множеством чисел у или, что то же, функция устанавливает зависимость одного числа от другого.

Более общим понятием является понятие функционала. Функционал устанавливает соответствие между множеством чисел, с одной стороны, и некоторым множеством функций — с другой. Можно сказать, что функционал устанавливает зависимость числа от функции: Примером функционала является определённый интеграл, величина которого (при неизменных пределах) зависит от вида подынтегральной функции.

Очень полезным является понятие функционального оператора, устанавливающего соответствие между двумя множествами функций, т.е. с помощью оператора устанавливается зависимость функции от функции: Так как функции могут быть представлены векторами и множество функций определяется как векторное пространство, то действие оператора может быть описано в геометрических терминах как преобразование пространства X векторов х в пространство векторов у. Обратное преобразование обозначают . В задачах преобразования сообщений и сигналов используются наряду с линеиными операторами также нелинейные и параметрические операторы.

Векторное представление цифровых сигналов в пространстве Хэмминга. Если функция на каждом интервале может принимать одно из возможных значений то на отрезке длительностью она будет полностью определена значениями х или, что то же, совокупностью коэффициентов называемой «-набором. В частности, при коэффициент принимает значение 0 или 1, -набор представляет собой просто кодовую комбинацию -значного двоичного кода, отображающую символ (букву, цифру) передаваемого сообщения. Двоичные -наборы отображаются векторами (точками) в пространстве Хэмминга Скалярное произведение в этом пространстве удобно задать функцией

где сумма в обычном смысле. Отсюда норма двоичного вектора

Можно видеть, что норма двоичного вектора определяется количеством содержащихся в нём единиц. Эту норму называют также весом вектора (кодовой комбинации) и обозначают . Расстояние в пространстве Хэмминга

где знак означает операцию суммирования по модулю Приведём пример суммирования по mod 2 двух векторов:

Суммирование и вычитание по mod 2 эквивалентны. В пространстве Хэмминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций в кодовой комбинации, в которых векторы х и у имеют различающиеся символы. В рассмотренном примере единицам. В более общем случае, если число различимых значений равно используется разность по модулю