Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ БАЗИСЫАналогия между сигналами и векторами. Любая задача легче воспринимается, если её можно связать с каким-либо известным явлением. При математическом описании сигналы удобно рассматривать как векторы или точки в некотором функциональном пространстве — пространстве сигналов. Электрические сигналы сложной формы по своей физической природе далеко не всегда сходны с привычными нам представлениями векторов как направленных отрезков. Тем не менее практический интерес имеет обобщение операций над векторами на сигналы (функции), описывающие различные колебания. Дело в том, что среди различных математических приёмов, используемых при исследовании электрических цепей и сигналов наиболее широко применяется представление произвольной функции в виде суммы более простых ("элементарных") функций. Такой подход лежит в основе принципа независимости действия (суперпозиции) при изучении преобразований сигналов в линейных электрических цепях. Наглядные геометрические представления, связанные с отображением функций в качестве векторов пространства сигналов, помогают часто уяснить физическую сущность процессов формирования, передачи и разделения сигналов, синтеза оптимальных сигналов и устройств обработки сигналов при наличии помех. Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора х трёхмерного пространства на его составляющие по координатному базису единичных ортогоншьных векторов i, j, k (рис. 2.2). Такое представление можно записать как
Составляющими вектора х по базису Чтобы перейти к обобщению понятия вектора трёхмерного пространства для случая
где
Вектор х, соответствующий функции
Рис. 2.2. Представление вектора х в трёхмерной ортогональной системе коордннат
Рис. 2.3. Отображение непрерывной функции последовательностью прямоугольных импульсов
Основные определения, относящиеся к функциональным пространствам Евклида, Гильберта, Хэмминга. Линейным или векторным называется пространство сигналов, для элементов которого выполняются правила сложения и умножения на любое число из некоторого множества Множество векторов
выполняется лишь тогда, когда все Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние между элементами (векторами) пространства (метрика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число
где х, у, z - элементы (точки) пространства. Смысл первых двух условий очевиден. Третье условие называют неравенством треугольника, длина стороны треугольника меньше (или равна) суммы длин двух других сторон. Нормированные пространства. Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства. Этот вид пространства определяется заданием нормы
Первая аксиома устанавливает, что норма есть положительное вещественное число, равное нулю только для нулевого вектора, во второй аксиоме Начнём с перечисления терминов и определений, относящихся к
Как видим, норма есть обобщение длины вектора в двухмерном и трёхмерном пространстве. Расстояние между двумя векторами х и у определяется как норма разности векторов:
Для пространства Евклида
где
Координаты вектора представляют собой проекции вектора на координатные оси, аналогично (2.5). Из соотношения (2.8) вытекает очевидное неравенство
известное в литературе как неравенство
(к — скаляр), т.е. когда векторы х и у коллинеарны. Для соответствующих сигналов
При
а квадрат нормы
Норма (2.12) имеет не только геометрический, но и отчётливый физический смысл. Так, если сигнал
определяет энергию сигнала. Элементы гильбертова пространства характеризуются интегрируемым квадратом, т.е. если элементы этого пространства - вещественные сигналы
Гильбертово пространство обозначается при этом
В этом случае можно вместо (2.11) ввести скалярное произведение с размерностью мощности (для токов и напряжений на единичном сопротивлении)
Квадрат нормы вектора х в этом случае
При выполнении условия (2.14) в пространстве В дальнейшем, говоря о функции с интегрируемым квадратом в пространстве
или
форму (2.18) можно использовать и при Пространство
Операторы и функционалы. В задачах преобразования сообщений и сигналов нам потребуются некоторые обобщения функциональных зависимостей. Величина у называется функцией независимой переменной х, если каждому значению х (из множества его возможных значений) соответствует определённое значение у. Иначе говоря, функциональная зависимость Более общим понятием является понятие функционала. Функционал устанавливает соответствие между множеством чисел, с одной стороны, и некоторым множеством функций — с другой. Можно сказать, что функционал Очень полезным является понятие функционального оператора, устанавливающего соответствие между двумя множествами функций, т.е. с помощью оператора Векторное представление цифровых сигналов в пространстве Хэмминга. Если функция
где
Можно видеть, что норма двоичного вектора определяется количеством содержащихся в нём единиц. Эту норму называют также весом вектора (кодовой комбинации) и обозначают
где знак
Суммирование и вычитание по mod 2 эквивалентны. В пространстве Хэмминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций в кодовой комбинации, в которых векторы х и у имеют различающиеся символы. В рассмотренном примере
|
1 |
Оглавление
|