Восстановление непрерывной функции по отсчётам.

Процедура восстановления непрерывной функции по отсчётам её мгновенных значений вытекает непосредственно из (2.55): нужно перемножить значения отсчётов на соответствующие отсчётные функции (2.56) и просуммировать полученные произведения. Эти операции иллюстрирует рис. 2.10. Спектральная трактовка процесса восстановления следует из рис. 2.9.

Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (2.55). Однако если функция с ограниченным спектром рассматривается на конечном интервале (рис. 2.10, а), то точное разложение (2.55) можно заменить следующим приближённым разложением:

Конечное число отсчётов определяющее равно (при )

1. Параметр играющий важную роль в называют базой сигнала. Очевидно, что погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчётов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании.

Оценим качественно погрешность Поскольку все слагаемые ряда (2.55) обращаются при в нуль во всех точках, за исключением слагаемого с номером то в этих сечениях значения совпадают с т.е. погрешность равна нулю, погрешность достигнет наибольшей величины внутри промежутка между отсчётами. Кроме того, величина погрешности нарастает к краям рассматриваемого интервала.

Другая причина погрешностей обусловлена тем, что спектры реальных финитных сигналов не обращаются в нуль за пределами граничной частоты. Хотя основная энергия сигналов расположена на частотах от нуля до некоторая часть приходится на частоты выше граничной. Относительная среднеквадратическая погрешность определяется соотношением

где полная энергия сигнала а та часть энергии, которая оказывается за пределами полосы частот и не учитывается при восстановлении сигнала- Таким образом, при заданной погрешности (2.62) можно определить необходимую граничную частоту а следовательно, и интервалы между отсчётами Детальное исследование показывает, что погрешности за счёт неучитываемой части спектра сигнала будут тем больше, чем медленнее убывает спектр за пределами граничной частоты.

Третьей причиной погрешностей являются неидеальные характеристики фильтра, формирующего отсчётные функции. Колебания, имеющие форму отсчётной функции вида (2.56), можно получить на выходе идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с граничной частотой при действии на его входе дельта-импульса идеального ФНЧ равномерна (рис. 2.11)

а линейна:

Импульсная характеристика фильтра определяется обратным преобразованием Фурье от комплексного коэффициента передачи (см. § 4.4): Для рассматриваемого случая идеального ФНЧ

Рис. 2.10. Иллюстрация принципа восстановления непрерывной функции по её отсчётам

Рис 2.11 АЧХ и ФЧХ фильтра, формирующего отсчётные функции: (1) идеального ФНЧ; (2) неидеального ФНЧ

Рис. 2.12. Импульсная характеристика: (1) для идеального ФНЧ, (2) для неидеального ФНЧ

Характеристики реальных фильтров отличаются от идеальных (пунктирные кривые 2 на рис 2.11), что приводит к отклонению реальной функции отсчётов от идеальной (кривая 2 на рис. 2.12) и, как следствие, к появлению дополнительных погрешностей восстановления функции по отсчётам.