8.8. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Во многих случаях сигнал (например, при ЧМ, ФМ, ФИМ) является нелинейной функцией передаваемого сообщения, и уравнение наблюдения становится нелинейным Может быть нелинейным и уравнение состояния. Основополагающие результаты по теории нелинейной фильтрации, из которой, в частности, следуют и результаты линейной теории, получены Р.Л. Стратоновичем. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В.И. Тихонова, Н.К. Кульмана, Ю.Г. Сосулина и многих других авторов [26] В настоящее время теория нелинейной фильтрации наиболее разработана для двух случаев: сообщение моделируется гауссовским случайным процессом или представляет собой марковский процесс. Здесь остановимся лишь на теории фильтрации одномерных марковских гауссовских процессов, порождаемых линейным дифференциальным уравнением (8.67). Уравнение наблюдения задано в виде

где нелинейная функция Как и в предыдущем случае, шум считается белым гауссовским с нулевым средним значением и односторонней .

Не нарушая общности в уравнении (8 67) можно положить Тогда будет нормированным безразмерным процессом с единичной дисперсией (мощностью), а изменения

Рис. 8.9 Структурная схема оптимального демодулятора АМ сигналов

глубины модуляции того или иного параметра скажутся лишь на коэффициенте (индексе) модуляции.

Поскольку процесс, описываемый стохастическим уравнением (8.67), является марковским (диффузионным), изменения во времени его плотности вероятности определяются уравнением Колмогорова-Фокера-Планка (2.30), которое в данном случае имеет вид

Для большей общности можно рассматривать передачу сигнала в канале с флуктуирующей фазой которую часто представляют процессом с независимыми приращениями, описываемым дифференциальным уравнением

где - белый гауссовский шум с нулевым средним значением и односторонней спектральной плотностью мощности Все белые шумы, фигурирующие в рассматриваемой задаче, взаимно независимы. Располагая этими априорными данными, нужно найти устройство, которое бы с наименьшей погрешностью воспроизводило изменяющееся во времени случайное колебание

Если в качестве критерия оптимальности используется критерий среднеквадратической ошибки

то, как известно (см. § 8.2), оптимальной оценкой является апостериорного распределения

При этом погрешность оценки можно характеризовать апостериорной дисперсией

Таким образом, для вычисления оптимальной оценки и её погрешности необходимо знать плотность апостериорного распределени которая согласно формуле Байеса (8.6) определяется двумя множителями (см. (8.20)). Плотность вероятности фильтруемого процесса удовлетворяющего (8.67), определяется из (8.80). Условная плотность вероятности (функция правдоподобия) легко находится из уравнения наблюдения (8.79). Так как сигнал является известной функцией аргументов и а шум имеет гауссовское распределение, то и также будет гауссовским. При этом оценка является оптимальной не только по критерию минимума среднеквадратической ошибки, но и по критерию максимума апостериорной вероятности.

Апостериорная вероятность содержит всю информацию о передаваемом сообщении которую можно извлечь из наблюдаемого сигнала на интервале и априорных сведений . В работах Р. Л. Стратоновича показано, что апостериорная плотность вероятности реализации в конечный момент времени наблюдения определяется следующим нелинейным дифференциальным уравнением [26]:

Здесь соответственно коэффициенты сноса и диффузии; производная по времени от логарифма функции правдоподобия:

В общем случае с точностью до постоянных

а применительно к неэнергетическим параметрам сигнала (например, для частоты и фазы)

Уравнение (8.85) определяет полную процедуру фильтрации сообщения на фоне белого шума. Оптимальное приёмное устройство должно моделировать уравнение (8.85) и определять оценку соответствующую максимуму апостериорной вероятности. В общем случае аналитическое решение этого уравнения оказывается трудной задачей. Схемы оптимального приёмника при этом весьма сложные. Для получения более простых схем целесообразно использовать приближённые решения. При достаточно больших отношениях сигнал-шум и большом времени наблюдения есть основания считать, что апостериорная плотность вероятности приближённо гауссовская:

Такую аппроксимацию в теории нелинейной фильтрации принято называть гауссовским приближением, а получающийся при этом алгоритм обработки колебания квазиоптимальным. Решение задачи в этом случае существенно упрощается, так как апостериорная плотность вероятности (8.89) определяется всего двумя параметрами: средним значением определяющим оптимальную оценку передаваемого сообщения и дисперсией характеризующей ошибку фильтрации.

Если считать коэффициент сноса линейной функцией а коэффициент диффузии то после подстановки (8.89) в (8.85) и несложных вычислений получим для определения систему из двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:

Таким образом, задача оптимальной фильтрации в гауссовском приближении сводится к совместному решению или моделированию уравнений (8.90). Система, моделирующая эти уравнения (нелинейный фильтр), будет воспроизводить переданное сообщение с минимальной среднеквадратической ошибкой (по крайней мере, в случае слабых помех, когда оправдано гауссовское приближение).

Для марковского гауссовского процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (8.67): уравнения (8.90) запишутся так:

Если сигнал линейно зависит от передаваемого сообщения то согласно и уравнения (8.91) переходят в уравнения (8.71), (8.72), описывающие линейный оптимальный ФК.

Рассмотренная теория нелинейной фильтрации может быть обобщена и на случай, когда передаваемое сообщение описывается негауссовским марковским процессом. При этом вместо уравнения (8.67) фигурирует нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение.

Другим обобщением является передача сигнала, модулированного сообщением которое можно аппроксимировать компонентой многомерного марковского процесса [19].

Пример. Рассмотрим применение теории нелинейной фильтрации для синтеза оптимальных приёмников в системах с фазовой и частотной модуляцией.

Сигнал при ФМ

где априорно известные значения амплитуды и частоты; индекс фазовой модуляции; процесс, описывающий флуктуацию начальной фазы; с реализацией положим нормированным одномерным марковским гауссовским процессом.

Для нахождения уравнения оценки определим функцию Согласно (8.88)

Запишем уравнение оценки, полагая вначале, что флуктуации начальной фазы отсутствуют: Подставляя (8.93) в уравнение (8.91), получаем

где

Построим структурную схему фильтра, вьщеляющего из наблюдаемого колебания оптимальную оценку Для этого обозначим и перепишем (8.94) в виде

Легко убедиться, что если подать напряжение на интегрирующую RС-цепь, где то напряжение на конденсаторе будет равно Для того чтобы сформировать напряжение достаточно иметь автогенератор с частотой моделируемый по фазе сигналом с индексом модуляции и перемножитель, осуществляющий умножение напряжения автогенератора на входное колебание Амплитуда автогенератора Коэффициент к определяют решением нелинейного дифференциального уравнения (8.91). В данном случае для установившегося режима

Таким образом, определяем один из возможных вариантов схемы для получения оптимальной оценки изображённой на рис. 8.10. Здесь подстраиваемый генератор, фаза которого модулируется с помощью управляющего элемента Это не что иное, как схема автоподстройки фазы автогенератора по входному колебанию Благодаря этому она обладает в известной степени свойствами саморегулирования, в частности малочувствительна к точности установки начальной фазы автогенератора и его амплитуды. Однако, если начальная фаза подвержена значительным (по величине и скорости) флуктуациям, схема рис. 8.10 становится далеко не оптимальной.

Если фаза флуктуирует, то приходится решать уравнение совместной оценки . В этом случае структурная схема оптимального демодулятора ФМ сигнала несколько усложняется по сравнению со схемой рис. 8.10, так как теперь надо модулировать управляемый генератор сигналом

При ЧМ в . В остальном характер всех соотношений сохраняется. Схема оптимального нелинейного фильтра по структуре такая же, как и для ФМ. Отличие заключается в том, что в подстраиваемом генераторе модулируется не фаза, а частота.

Рис. 8.10. Структурная схема оптимального демодулятора ФМ сигнала с постоянной фазой

Несколько отличаются также коэффициенты усиления. Полученный фильтр представляет со бой схему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Заметим, что она аналогична схеме рис. 8.2.

Аналогично определяют схемы оптимальной нелинейной фильтрации для других видов модуляции и для более сложных каналов.