10.1. СПЕКТР ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА

Определим дискретный сигнал через совокупность отсчётов непрерывной функции

Тогда сам дискретный сигнал можно записать в виде модели

где безразмерная периодическая (с периодом Д) решётчатая функция.

Покажем, более строго, чем в гл. 2, что дискретный сигнал (10.1) имеет спектр по Фурье

где спектр Фурье исходного непрерывного сигнала (см. заштрихованную область на рис. 10.3), т. е. спектр дискретного сигнала повторяется с периодом частоты дискретизации (см. рис. 10.3).

Как известно (см. задачу 2.6), спектр Фурье произведения двух функций времени (10.2) определяется свёрткой спектров сомножителей

Рис. 10.3. Амплитудный спектр первичного дискретного сигнала

где спектр по Фурье периодической функции с периодом которую представим комплексным рядом Фурье: фильтрующее свойство -функции).

Спектральная плотность периодической функции определяется с учётом (2.43) суммой -функций:

С учётом (10.5) интегрирование (10.4) даёт результат (10.3). Напомним, что из спектра (10.3) можно без искажений восстановить спектр (следовательно, и сам непрерывный сигнал только при условии, если отдельные копии спектра взаимно не перекрываются (см. рис. 10.3). Это возможно, если Восстановление осуществляют фильтром нижних частот, АЧХ которого показана штриховой линией на рис. 10.3. Реализация такого фильтра тем проще, чем сильнее выполняется неравенство

Спектр дискретного сигнала (10.1) можно определить не только формулой (10.3), но и путём непосредственного нахождения преобразования Фурье от (10.1), что даёт результат

Найдём теперь спектр Фурье дискретного финитного сигнала, определённого на интервале Такой финитный сигнал можно записать:

Спектр сигнала (10.7) можно легко найти, если его периодически продолжить (направо и налево) с периодом Тогда получаем периодический сигнал совпадающий с на интервале (0,7), для которого комплексные амплитуды можно получить из (10.6) при суммированием от учётом множителя 1/7:

Формула (10.8) определяет коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Из (10.8) нетрудно видеть, что при заданных отсчётах существует коэффициентов ДПФ . Коэффициент определяет постоянную составляющую. При чётном из (10.8) следует для вещественных

коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно образуют комплексно-сопряженные пары. Можно считать, что коэффициенты соответствуют отрицательным частотам, число же амплитуд образующих спектр ДПФ, равно

При заданных можно найти обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ). Прежде всего это можно получить, представляя периодическую функцию с периодом Градом Фурье:

Положив в получаем ОДПФ:

Отметим, что ДПФ и ОДПФ удовлетворяют условию линейности.

Пример. Пусть дискретный финитный сигнал на интервале своей периодичности определяется четырьмя отсчётами: 1, —1, 0, 0. Тогда согласно и согласно (10.10) на интервале периодичности

При вычислении коэффициентов ДПФ согласно (10.8) или ОДПФ согласно (10.11) надо выполнить наиболее трудоёмких операций умножения. При больших массивах (порядка 1000 и более) использование таких алгоритмов ДПФ и ОДПФ в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств. Положение существенно изменилось, начиная с 60-х годов, с разработкой алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые сводят обработку заданного массива данных к обработке массивов с меньшим числом членов, и тем самым существенно уменьшается (при больших требуемое число операций умножения.