10.3. ВРЕМЕННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Подобно тому как отклик аналоговой линейной стационарной системы на произвольное внешнее воздействие можно найти или через временную (импульсную характеристику системы (т.е. интегралом Дюамеля или свёрткой функций

или спектральным методом (см. § 4.5), и отклик линейного стационарного на произвольное внешнее воздействие можно найти или через импульсную характеристику или спектральным методом.

Выполнив в (10.19) дискретизацию по переменным 1 и положив получаем цифровой аналог свёртки (10 19):

где отсчёты импульсной характеристики ЦФ, т. е. отклика на единичный импульс поступающий на вход фильтра в момент Из условий реализуемости ЦФ надо принять

Если входные отсчёты начинают поступать в момент то (10 20) можно написать:

С учётом условия реализуемости ясно, что суммирование в (10.22) фактически выполняется для

Если число входных отсчётов равно а число отсчётов импульсной характеристики равно то в принимает значения

Для нахождения одного значения в соответствии с (10.23) надо выполнить не более чем операций умножения, для нахождения всех значений надо выполнить примерно операций умножения.

Число операций можно существенно сократить, если использовать спектральный метод расчёта ЦФ и методы Чтобы это показать, напишем сначала дискретную свёртку (10.23) в нормированном виде:

Дополнив последовательность из входных отсчётов нулями, представим через ОДПФ:

Дополнив последовательность из отсчётов импульсной характеристики нулями, определим ОДПФ:

где коэффициенты ДПФ для импульсной характеристики ЦФ.

Подставив (10.25) и (10.26) в (10.24), получим

Справедливо условие

Равенство суммы при очевидно. Равенство же суммы нулю при объясняется тем, что в этом случае имеем векторную сумму единичных векторов, образующих в совокупности замкнутый правильный А-угольник. Сумма эта, естественно, равна нулю.

С учётом (10.28) формула (10.27) принимает вид

Уравнение (10.29) определяет ОДПФ выходных отсчётов ЦФ, если ДПФ над этими отсчётами определяется произведением ДПФ входных отсчётов и отсчётов импульсной характеристики фильтра:

Если методами БПФ найти спектральные компоненты и а затем и ОДПФ от их произведения то можно при больших существенно экономить в вычислительных операциях по сравнению с непосредственными вычислениями по формуле дискретной свёртки.